Czy funkcja jest bijekcją?

[FAUSTVIII]

Wie może jak za takie zadanie się zabrać??
Sprawdzić czy funkcja f jest bijekcja ?
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2 \\
f(x) = \left< x+1, 2x+1 \right>}\)

Z góry dziękuje

[Jan Kraszewski]

Czy ta funkcja jest "na"?

JK

[FAUSTVIII]

Nierozumiem tego zapisu.
\(\displaystyle{ f(x) = \left< x+1, 2x+1 \right>}\)

Mam rozpatrzyc narpiew
\(\displaystyle{ f(x) = x+1 \\
f(x) = 2x+1}\)

[Jan Kraszewski]

Nierozumiem tego zapisu.
\(\displaystyle{ f(x) = \left< x+1, 2x+1 \right>}\)

Mam rozpatrzyc narpiew
\(\displaystyle{ f(x) = x+1 \\
f(x) = 2x+1}\)

Nie. To jest funkcja, która każdej liczbie rzeczywistej przypisuje pewien punkt na płaszczyźnie. Np. \(\displaystyle{ f(0)=\langle 1,1\rangle}\).

JK

[FAUSTVIII]

A mógłby Pan powiedzieć jak sprawdzić czy podana funkcja jest iniekcją lub surjekcją?

[Jan Kraszewski]

Surjekcja - zastanów się, czy każdy punkt płaszczyzny jest postaci \(\displaystyle{ \langle x+1,2x+1\rangle}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) (innymi słowy, czy każdy punkt płaszczyzny jest wartością funkcji).

To, czy funkcja jest injekcją sprawdzasz tak samo, jak dla każdej innej funkcji. Ale ta funkcja akurat jest injekcją.

JK

[FAUSTVIII]

Surjekcja - zastanów się, czy każdy punkt płaszczyzny jest postaci \(\displaystyle{ \langle x+1,2x+1\rangle}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) (innymi słowy, czy każdy punkt płaszczyzny jest wartością funkcji).

To, czy funkcja jest injekcją sprawdzasz tak samo, jak dla każdej innej funkcji. Ale ta funkcja akurat jest injekcją.

JK

Jest surjekcją.

Czy przykadowo ?
f : \(\displaystyle{ R^{2} \rightarrow R^{2}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = <x+y, xy>}\)

funkcja nie jest injekcją ale jest surjekcją ??

[Jan Kraszewski]

Surjekcja - zastanów się, czy każdy punkt płaszczyzny jest postaci \(\displaystyle{ \langle x+1,2x+1\rangle}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) (innymi słowy, czy każdy punkt płaszczyzny jest wartością funkcji).

To, czy funkcja jest injekcją sprawdzasz tak samo, jak dla każdej innej funkcji. Ale ta funkcja akurat jest injekcją.

JK

Jest surjekcją.

Tak? A dla której liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=\langle 0,0\rangle}\)?

Czy przykadowo ?
f : \(\displaystyle{ R^{2} \rightarrow R^{2}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = <x+y, xy>}\)

funkcja nie jest injekcją ale jest surjekcją ??

Nie jest injekcją, nie jest też surjekcją.

JK