[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: »

Pierwsza seria cieszyła się w ubiegłym sezonie jako takim zainteresowaniem, wrzucam więc kolejną porcję zadań. Jeśli i tym razem będzie zainteresowanie, to postaram się przed drugim etapem wrzucić jeszcze jedną serię.

Link do pierwszej serii
Link do trzeciej serii
[url=http://www.matematyka.pl/258971.htm]Link do serii przedfinałowej[/url]

(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)

Zadanie 1 - rozwiązane przez KPR
Dane są takie liczby całkowite \(\displaystyle{ x,y,z,a,b,c}\), że:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2,y^2+z^2=b^2,z^2+x^2=c^2}\)
Udowodnij, że iloczyn \(\displaystyle{ xyz}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 55}\).

Zadanie 2 - rozwiązane przez Qnia
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) oraz każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |\cos x|+|\cos 2x| +|\cos 2^2x| + \ldots +|\cos 2^nx |\ge \frac{n}{2\sqrt{2}}}\)

Zadanie 3 - rozwiązane przez timona92
W czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) ściany \(\displaystyle{ ABD,ACD,BCD,BCA}\) mają pola odpowiednio \(\displaystyle{ S_1,S_2,Q_1,Q_2}\), kąty dwuścienne ścian \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ACD}\) oraz \(\displaystyle{ BCD}\) i \(\displaystyle{ BCA}\) są równe odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ S_1^2+S_2^2-2S_1S_2\cos\alpha =Q_1^2+Q_2^2-2Q_1Q_2\cos \beta}\)

Zadanie 4 - rozwiązane przez kaszubki i binaja
Udowodnij, że każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a_0+2a_1+2^2a_2+\ldots +2^na_n}\), gdzie \(\displaystyle{ a_k\in\{-1,0,1\}}\) oraz \(\displaystyle{ a_k\cdot a_{k+1}=0}\) dla \(\displaystyle{ 0\le k\le n-1}\)

Zadanie 5 - rozwiązane przez timona92
Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ |AB|<|BC|}\). Na bokach tych na zewnątrz trójkąta zbudowano kwadraty \(\displaystyle{ ABDE}\) i \(\displaystyle{ BCFG}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są środkami boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AC}\), zaś \(\displaystyle{ S\neq N}\) - punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ BN}\) i \(\displaystyle{ GM}\). Udowodnij, że jeżeli punkty \(\displaystyle{ M,C,S,N}\) leżą na jednym okręgu, to \(\displaystyle{ |MD|=|MG|}\)
Uwaga: w treści była literówka, na co zwrócił uwagę tometomek91, a potwierdzili timon92 i KPR

Zadanie 6 - rozwiązane przez kaszubki
W sześciokącie foremnym \(\displaystyle{ ABCDE F}\) o środku \(\displaystyle{ O}\) punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są środkami boków \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ DE}\), zaś \(\displaystyle{ L}\) jest punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AM}\) i \(\displaystyle{ BN}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 1^o}\) pole trójkąta \(\displaystyle{ ABL}\) równe jest polu czworokąta \(\displaystyle{ DMLN}\)
\(\displaystyle{ 2^o}\) \(\displaystyle{ \sphericalangle ALO= \sphericalangle OLN=60^o, \sphericalangle OLD = 90^o}\)

Zadanie 7 - rozwiązane przez KPR
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ a^ab^bc^c \ge a ^bb^cc^a}\)

Zadanie 8 - rozwiązane przez Vaxa i Qnia
Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\). Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ || \ldots |||x-1|-2|-3|- \ldots -(n-1)|-n|=0}\)

Zadanie 9 - rozwiązane przez timona92
W czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanym w sferę o środku \(\displaystyle{ O}\) krawędzie \(\displaystyle{ AB,AC,AD}\) są równe. Niech \(\displaystyle{ G,E,F}\) będą odpowiednio: środkiem ciężkości ściany \(\displaystyle{ ACD}\), środkiem odcinka \(\displaystyle{ BG}\) i środkiem odcinka \(\displaystyle{ AE}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ OF \perp BG \Leftrightarrow OD \perp AC}\)

Zadanie 10 - rozwiązane przez KPR
Wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) obrano taki punkt \(\displaystyle{ P}\), że okręgi wpisane w trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ABP}\) są styczne do boku \(\displaystyle{ AB}\) w tym samym punkcie. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów z pozostałymi bokami leżą na jednym okręgu.

Zadanie 11 - rozwiązane przez Vaxa
Wyznacz wszystkie ciągi liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_0,x_1,x_2,\ldots , x_{2n}}\) spełniające układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1^2+x_2^2+\ldots +x_{2n}^2=2(x_1x_{2n} +x_2x_{2n-1}+\ldots +x_nx_{n+1}) \\
x_0^2+\ldots +x_{n-1}^2+ x_{n+1}^2\ldots +x_{2n}^2=2(x_0x_{2n} +x_1x_{2n-1}+\ldots +x_{n-1}x_{n+1})\end{cases}}\)


Zadanie 12 - rozwiązane przez KPR
Wewnątrz równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym kąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ CDA}\) są rozwarte, obrano taki punkt \(\displaystyle{ P}\), że kąt \(\displaystyle{ ADP}\) równy jest kątowi \(\displaystyle{ ABP}\). Udowodnij, że suma \(\displaystyle{ |AP|\cdot |PC| +|DP|\cdot |PB|}\) nie zależy od wyboru punktu \(\displaystyle{ P}\)

Zadanie 13 - rozwiązane przez timona92
Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są środkami przekątnych czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanego w okrąg. Proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ R}\), zaś proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) - w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ ARC}\) i \(\displaystyle{ ASC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ T}\). Udowodnij, że punkty \(\displaystyle{ P,Q,T}\) leżą na jednej prostej.
Uwaga: w treści była literówka, na co zwrócił uwagę timon92 (dzięki)

Zadanie 14 - rozwiązane przez Qnia
Niech \(\displaystyle{ x,y,z}\) będą liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, że następujące warunki są równoważne:
(i) \(\displaystyle{ x>0,y>0,z>0}\) i \(\displaystyle{ \frac 1x + \frac 1y +\frac 1z \le 1}\)
(ii) dla dowolnego czworokąta o bokach długości \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ a^2x+b^2y+c^2z>d^2}\)

Zadanie 15 - rozwiązane przez timona92
W pięciokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCDE}\) punkty \(\displaystyle{ M,N,P,Q,R}\) są środkami odpowiednio boków \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DE,EA}\). Udowodnij, że jeżeli odcinki \(\displaystyle{ AP,BQ,CR,DM}\) mają punkt wspólny, to punkt ten należy do odcinka \(\displaystyle{ EN}\).

Zadanie 16 - rozwiązane przez Dumla
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y,z}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |x|+|y|+|z|+|x+y+z|\ge |x+y|+|y+z|+|z+x|}\)

Zadanie 17 - rozwiązane przez Vaxa
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^3-y^2=z^2-x\\
y^3-z^2=x^2-y\\
z^3-x^2=y^2-z\end{cases}}\)


Zadanie 18 - rozwiązane przez KPR
Wewnątrz trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) o boku \(\displaystyle{ 1}\) obrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \frac 34 < |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2<2}\)

Zadanie 19 - rozwiązane przez timona92
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ 27(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \ge 64(a+b+c)^3abc}\)

Zadanie 20 - rozwiązane przez kubka1
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełniające warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)+2x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\)
(ii) \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ xin [0,1)}\)

Zadanie 21 - rozwiązane przez KPR
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełniające warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)+2^x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\)
(ii) \(\displaystyle{ f(x)=2^x+\sin (2\pi x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ xin [0,1)}\)

Zadanie 22 - rozwiązane przez kubka1
Hiperbola o równaniu \(\displaystyle{ xy=1}\) przecina okrąg w czterech punktach \(\displaystyle{ T_i=(p_i,q_i)}\), \(\displaystyle{ i=1,2,3,4}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ p_1p_2p_3p_4=1}\)

Zadanie 23 - rozwiązane przez kaszubki
Wyznacz wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) liczb naturalnych parami względnie pierwszych, dla których liczba \(\displaystyle{ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\) jest całkowita.

Zadanie 24 - rozwiązane przez KPR
Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisano w okrąg. Proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), a proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) - w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Z punktu \(\displaystyle{ Q}\) poprowadzono styczne do danego okręgu. Niech \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\) będą punktami styczności. Udowodnij, że \(\displaystyle{ P,R,S}\) leżą na jednej prostej.

Powodzenia!

Q.
kubek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Syberia
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: kubek1 »

Zad.22
Ukryta treść:    
Zad.20
Ukryta treść:    
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: KPR »

Zad 7.
Ukryta treść:    
-- 5 sty 2011, o 14:03 --

21:
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 5 sty 2011, o 16:25 przez KPR, łącznie zmieniany 4 razy.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: »

kubek1 pisze:Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną większą od 0. Przez prostą indukcję dowodzimy, że:
\(\displaystyle{ f(x+n)=f(x)+2nx+n(n-1)}\)
Wstawiasz później w miejsce \(\displaystyle{ n}\) dowolną liczbę całkowitą \(\displaystyle{ m}\), więc powyższy wzór też powinien być wykazany dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\). Na szczęście przypadek liczb ujemnych również można skwitować stwierdzeniem "prosta indukcja" ;).

No i na końcu koniecznie trzeba napisać chociaż: łatwo sprawdzić, że ta funkcja spełnia podane warunki, jest ona więc jedynym rozwiązaniem.

Pozwoliłem sobie też poprawić nawiasy - \(\displaystyle{ \{x\}}\) trzeba zapisać jako "{x}", inaczej klamry się nie wyświetlą.

Q.
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: KPR »

12:
Ukryta treść:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: »

KPR pisze:Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sin 2\pi (x+1)=-\sin 2\pi x}\)
Jesteś pewien? ;)

Q.
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: KPR »

Rzeczywiście, zapomniałem o tej dwójce.
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: Dumel »

zad. 16.
Ukryta treść:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: »

KPR pisze: Zatem możemy udowodnić przez indukcję (w dwie strony, dla \(\displaystyle{ [x]}\) dodatniego i dla \(\displaystyle{ [x]}\) nieujemnego), że \(\displaystyle{ f(x)=2^x([x]+1) +\sin( 2\pi x)}\).
Myślę, że takiego wzoru udowodnić nam się nie uda.

Q.
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: KPR »

Zad 24:
Ukryta treść:    
, czemu nie?
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: timon92 »

19.
Ukryta treść:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: »

KPR pisze:, czemu nie?
Warunki zadania narzucają nam na przykład \(\displaystyle{ f(2)=4}\), a Twój wzór daje \(\displaystyle{ f(2)=12}\).

Co do 16 i 19 - ok, Popoviciu brzmi tyleż poprawnie co groźnie ;). A nie dałoby się obu jakoś elementarniej (bez piętrowych rachunków)?

Q.
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: KPR »

Poprawiłem, wydaje mi się, że teraz jest dobrze.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: timon92 »

19. inaczej
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 5 sty 2011, o 17:55 przez timon92, łącznie zmieniany 1 raz.
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 2 seria.

Post autor: Dumel »

zad. 4.
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ