Zadania z repetytorium

[małgosia]

Hej;)

Muszę rozwiązać na repetytorium 15 zadań i zostały mi jeszcze 2, z którymi ma problem. Byłabym wdzięczna, za dokładne rozpisanie rozwiązania.

Zad 9.
Pokazać, że przestrzeń:

\(\displaystyle{ \mathrm{H} _{ \alpha } \left[ a,b\right]=\left\{ f:\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} :\bigvee\limits_{L>0} \bigwedge\limits_{x,y} \left| f(x)-f(y)\right| \le L\left| x-y\right| ^{ \alpha } \right\}}\)

jest zupełna względem metryki

\(\displaystyle{ d _{\alpha} (f,g)=\left| f(a)-g(a)\right|+\sup_{x \neq y, x,y\in [a,b]} \frac{\left| (f-g)(x)-(f-g)(y)\right| }{\left| x-y\right| ^{ \alpha }}}\)

Zad 10.
Niech \(\displaystyle{ \ (X,d)}\) będzie przestrzenią metryczną. Pokazać, że \(\displaystyle{ \ f:X \rightarrow \mathbb{R}}\) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego \(\displaystyle{ \ r \in \mathbb{R}}\)zbiory \(\displaystyle{ \left\{ x: f(x) < r\right\} ,\left\{ x:f(x) > r \right\}}\) są otwarte.-- 5 stycznia 2011, 18:47 --Może chociaż jakaś wskazówka jak to zrobić?

[szw1710]

Ad 2. Otwartość pierwszego zbioru (dla dowolnego \(\displaystyle{ r>0}\)) wyraża półciągłość z góry, drugiego - półciągłość z dołu. Funkcja, która jest półciągła z góry i z dołu, jest ciągła.

[Parton]

Standardowa procedura dowodzenia że coś jest zupełne wygląda tak:

1) Bierzemy ciąg Cauchy'ego elementów przestrzeni
2) Zgadujemy kandydata na granicę
3) Pokazujemy że kandydat na granicę należy do naszej przestrzeni
4) Pokazujemy że kandydat to faktycznie jest granica

Czyli w tym konkretnym przypadku:

1) Weź ciąg Cauchyego.
2) Udowodnij, że wtedy ten ciąg funkcji jest punktowo zbieżny - wtedy dostaniesz kandydata na granicę to będzie w każdym punkcie równa punktowej granicy tego ciągu Cauchyego
3) Pokaż że kandydat należy do Twojej przestrzeni
4) Trzeba będzie pokazać, że w tej metryce, którą rozważasz ten ciąg faktycznie jest zbieżny do tego kandydata

Nie liczyłem tego dokładnie ale na 99% powinno wyjść.