Zadanie: Mamy n różnych typów kuponów. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuponu j
z puli wynosi za każdym razem \(\displaystyle{ p_{j}}\) . Znaleźć wartość oczekiwaną ilości typów
kuponów w losowo wybranym zbiorze k kuponów. Postarać się policzyć też
wariancję.
Oto, co udało mi się zrobić:
Jeżeli dobrze zrozumiałem temat, to mamy obliczyć takie coś
\(\displaystyle{ EX = \sum_{i=0}^{k} i * P(X=i)}\)
Potrzebujemy zatem dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo na wystąpienie danej liczby rodzajów kuponów.
No, to weźmy jakieś \(\displaystyle{ j =< k}\).
Niech \(\displaystyle{ S_p}\) oznacza zbiór indeksów wszystkich p-elementowych podzbiorów zbioru wylosowanych kuponów.
Prawdopodobieństwo na to, że wylosujemy j parami różnych typów kuponów wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P(X=j) = \sum_{s \in S_j} ((\prod_{x \in s} p_x) ( \sum_{x \in s} p_x)^{k-j})}\)
(bierzemy wszystkie możliwe podzbiory i dla każdego patrzymy jakie jest prawdopodobieństwo na wylosowanie ciągu j kuponów. Reszta typów kuponów musi być jednym z typów tych j kuponów, które wylosowaliśmy, więc prawdopodobieństwo będzie wyrażać się przez sumę prawdopodobieństw)
Zatem \(\displaystyle{ EX = \sum_{i=0}^{k} i * \sum_{s \in S_i} ((\prod_{x \in s} p_x) ( \sum_{x \in s} p_x)^{k-i})}\)
Czy to jest dobrze?
Jeżeli chodzi o wariancję, to czy wystarczy skorzystać z tego wzoru:
\(\displaystyle{ Var (X) = E(X^2) - [E(X)]^2}\) ?
Dzięki za pomoc.