granice funkcji

pierwszoroczna · Post autor: **pierwszoroczna** » 29 gru 2010, o 18:41

Witam. Mam pytanie: Dlaczego następująca funkcja nie ma granicy?:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ \sqrt{1-cosx} }{sinx}}\)
Przy okazji: jak policzyć następujące granice?:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ln\left( 1+x\right) }{x}}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{e ^{x}-1}{x}}\) Wiem, że w obu przypadkach wynik to 1, ale jak to pokazać?

R1990 · Post autor: **R1990** » 29 gru 2010, o 19:11

Co do drugiej czesci pytania to definicja metody De Hospitala sie klania

Post autor: **miki999** » 29 gru 2010, o 19:24

Dlaczego następująca funkcja nie ma granicy?:

Spr. granicę lewostronną i prawostronną.

Co do drugiej czesci pytania to definicja metody De Hospitala sie klania

Znam ludzi, którzy by Cię za to na gałęzi powiesili.

Pozdrawiam.

R1990 · Post autor: **R1990** » 29 gru 2010, o 19:26

Tak wiem ze to sa podstawowe granice wyrazen nieoznaczonych ale z De Hospitala tez to wyjdzie

Post autor: **miki999** » 29 gru 2010, o 19:29

Tak wiem ze to sa podstawowe granice wyrazen nieoznaczonych ale z De Hospitala tez to wyjdzie

Temat był wałkowany już milion razy. Napiszę wprost: liczenie tych granic z de l'Hospitala jest błędem.

pierwszoroczna · Post autor: **pierwszoroczna** » 31 gru 2010, o 14:59

nie wiem jak obliczyć pierwsze. nie może być tak?:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ \sqrt{1-cosx} }{sinx}= \lim_{x \to 0}= \frac{ \sqrt{1-cosx} }{ \sqrt{1-cos ^{2}x } }= \lim_{ x\to 0} \sqrt{ \frac{1-cosx}{\left( 1-cosx\right)*\left( 1+cosx\right) } }= \frac{ \sqrt{1+cosx} }{1+cosx}}\) Z tego granica wychodzi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

math questions · Post autor: **math questions** » 31 gru 2010, o 15:03

oki ale mogłaś skrócić po tym dużym pierwiastkiemi szybciej by było

Post autor: **ares41** » 31 gru 2010, o 15:06

math questions pisze:oki ale mogłaś skrócić po tym dużym pierwiastkiemi szybciej by było

Ta granica nie istnieje

pierwszoroczna · Post autor: **pierwszoroczna** » 31 gru 2010, o 15:11

właśnie, ale dlaczego nie istnieje?

Post autor: **ares41** » 31 gru 2010, o 15:12

miki999 pisze: Spr. granicę lewostronną i prawostronną.

Zrobiłaś to?

pierwszoroczna · Post autor: **pierwszoroczna** » 31 gru 2010, o 15:15

wydawało mi się, że granica lewo i prawostronna przy zerze dla cosinusa wynosi 1, ale teraz to już wiem że nic nie wiem xD

Post autor: **ares41** » 31 gru 2010, o 15:17

Tu masz ładny wykres tej funkcji.

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x+to+0%29%28sqrt%281-cosx%29%29%2F%28sinx%29

pierwszoroczna · Post autor: **pierwszoroczna** » 31 gru 2010, o 15:21

Dzięki, z wykresu ładnie widać, ale wykonując same obliczenia, jak mam wpaść na to, że przy lewostronnej będzie minus?

Post autor: **miki999** » 31 gru 2010, o 15:25

Oszacować znak? W sumie to jeszcze przed przystąpieniem do liczenia warto to zrobić. Jeżeli znaki są różne, to granica albo wynosi \(\displaystyle{ 0}\) albo nie istnieje.

pierwszoroczna · Post autor: **pierwszoroczna** » 31 gru 2010, o 15:32

chodzi mi o to:
majac ostatni zapis w tej postaci:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ \sqrt{1-cosx} }{sinx}= \lim_{x \to 0}= \frac{ \sqrt{1-cosx} }{ \sqrt{1-cos ^{2}x } }= \lim_{ x\to 0} \sqrt{ \frac{1-cosx}{\left( 1-cosx\right)*\left( 1+cosx\right) } }= \frac{ \sqrt{1+cosx} }{1+cosx}}\)
liczę gr. lewo i prawostronną, w ten sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{ \sqrt{1+cosx} }{1+cosx}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
bo \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} }cosx=1}\) Tak samo jest przecież dla \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{-} }}\)