Ideały pierwsze stowarzyszone

[marcinz]

Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie pierścieniem noetherowskim, \(\displaystyle{ I,J}\) ideałami właściwymi w \(\displaystyle{ R}\). Wykazać, że na to, aby \(\displaystyle{ \bigcap_{n \ge 0} (J+I^{n}) = J}\) potrzeba i wystarcza, żeby \(\displaystyle{ I+P \neq R}\) dla każdego ideału pierwszego \(\displaystyle{ P}\) stowarzyszonego z \(\displaystyle{ J}\).

[rps]

Co to jest ideał pierwszy stowarzyszony? Tak na oko to albo brakuje tu jakiegoś modułu, albo jakichś założeń o prymarności
Chyba, że traktujemy ideał I jako moduł nad R i definicja zostaje "po bożemu"?

[marcinz]

W tym przypadku można zdefiniować: \(\displaystyle{ P}\) jest ideałem pierwszym stowarzyszonym z \(\displaystyle{ J}\), o ile \(\displaystyle{ P}\) jest pierwszy i istnieje monomorfizm R-modułów \(\displaystyle{ R/P \rightarrow R/J}\).