Punkt przecięcia prostych w przestrzeni

[septu90]

Mam proste przykładowe proste \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ l}\).
\(\displaystyle{ l:\left\{\begin{array}{l} x=1+2t\\y=-1-2t\\z=-4-t \end{array}}\)

\(\displaystyle{ m:\left\{\begin{array}{l} x=7+4t\\y=-3\\z=-8-3t \end{array}}\)

Mam znaleźć równania parametryczne prostej \(\displaystyle{ k}\) będącej dwusieczną kąta ostrego miedzy tymi dwoma prostymi.
Wyznaczam wektory kierunkowe: \(\displaystyle{ u=[2, -2, -1]}\) \(\displaystyle{ v=[4, 0, -3]}\)
Długości wektorów kierunkowych prostch to \(\displaystyle{ \left| u\right|=3}\) oraz \(\displaystyle{ \left| v\right|=5}\)
\(\displaystyle{ 5*u=[10, -10, -5]}\)
\(\displaystyle{ 3*v=[12, 0, -9]}\)
Wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ k}\) będzie więc ich suma, czyli \(\displaystyle{ [22, -10, -14]}\)
Brakuje mi jeszcze punktu przecięcia prostych i nie wiem jak go znaleźć Czuję, że to jakiś banał ale nie mogę na to wpaść.
Proszę o poradę.

[emilas]

przecinają się dla t=1 dla prostej l i t=-1 dla prostej m

[septu90]

Właśnie, skąd to wiesz?

[emilas]

Z
\(\displaystyle{ l:\left\{\begin{array}{l} x=1+2t_l\\y=-1-2t_l\\z=-4-t_l \end{array} \qquad
m:\left\{\begin{array}{l} x=7+4t_m\\y=-3\\z=-8-3t_m \end{array}}\)

mamy taki "nadokreślony" układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{rcl} 7+4t_m&=&1+2t_l\\-3&=&-1-2t_l\\-8-3t_m&=&-4-t_l \end{array}}\)

którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ t_l=1, t_m=-1}\). Innymi słowy - porównując równania obydwu prostych - sprawdzamy dla jakich t są sobie równe (a więc dla jakich t przechodzą przez punkt przecięcia). Jeżeli ten "nadokreślony" układ byłby sprzeczny - to znaczyło by że proste się nie przecinają.