Zbiór zadań - WIELOMIANY

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Zbiór zadań - WIELOMIANY

Post autor: Arek » 6 mar 2005, o 16:46

ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - WIELOMIANY
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek wraz z rozwiązaniem)
Aktualizacja: 16.09.2011
1. Wyznacz wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla którego suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W \left( x \right) = \left( \left( x^{2} + 5x - 7 \right) ^{1999} \right) \left( ax^{2} + 2x - 2000 \right)}\) wynosi \(\displaystyle{ -2}\).

2. Wyznaczyć liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takie, że liczba \(\displaystyle{ 3}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^3 - 5x^2 + px +q}\).

3. Wyznaczyć współczynniki \(\displaystyle{ a,b}\) funkcji \(\displaystyle{ f(x) = ax^2 + bx - \frac{3}{4}}\) wiedząc, że osiąga ona wartość najmniejszą dla \(\displaystyle{ x=1}\) i punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (5,3)}\) należy do jej wykresu.

4. Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x) = ax^2 + bx+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\) o wspołczynnikach całkowitych ma dokładnie 1 miejsce zerowe. Wyznaczyć te funkcje jeżeli wiadomo, że do jej wykresu należą punkty \(\displaystyle{ (0,2)}\) oraz \(\displaystyle{ (4,50)}\).

5. Wyznacz wszystkie takie liczby rzeczywste \(\displaystyle{ x}\), że wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{2x^{3} + 5x^{2} + 4}{2x+1}}\) należy do zbioru liczb całkowitych.

6. Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ 3x^{3} + mx^{2} - 4x + 2}\) przez \(\displaystyle{ x-2}\) otrzymamy resztę równą \(\displaystyle{ 6}\)?

7. Wyznaczyć \(\displaystyle{ a, b}\) takie, że wielomian \(\displaystyle{ x^4 - 3x^{3} + 6x^{2} +ax +b}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2 - 1}\).

8. Wykazać, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\), wielomian \(\displaystyle{ (x-2)^{2n} + (x-1)^{n} - 1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)}\).

9. Wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie \(\displaystyle{ (m-2)x^4 - 2(m+3)x^2 + (m-1) = 0}\) ma cztery pierwiastki różne od 0.

10. Wiedząc, że liczby 2 i 3 są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ 2x^{3} + mx^2 - 13x + n = 0}\) obliczyć \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) oraz wyznaczyć trzeci pierwiastek.

11. Wyznaczyć sumę współczynników wielomianu \(\displaystyle{ \left( x^{3} - x + 1 \right) ^{50} + \left( 2x^{2} - 2x + 1 \right) ^{30}}\).

12. Sprawdzić, nie wykonując dzielenia, czy wielomian \(\displaystyle{ x^{10} + 3x^2 - 1}\) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

13. Sprawdzić bez dzielenia, czy liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest co najmniej dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ 10x^{11} - 11x^{10} + 1}\).

14. Pokazać, że nie ma pierwiastków następujący wielomian: \(\displaystyle{ x^{4} - x^{2} + 1}\).

15. Niech \(\displaystyle{ p(x)}\) będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Wyznaczyć wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \left( p ' \left( x \right) \cdot x \right) \mbox{d}x}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ p(0) = p(2) = 3 \ \wedge \ p'(0) = p'(2) = -1}\).

16. Liczba \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Wyznacz pozostałe pierwiastki rownania \(\displaystyle{ W(x)=0}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ W(x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1}\), \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}}\).

17. Wyznacz i podaj krotność pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = -x^{4} \left( x^2 - 1 \right) \left( 3x+3 \right) \left( x+1 \right) ^2}\).

18. Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-2}\) wynosi \(\displaystyle{ 3}\). Reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x+1}\) wynosi \(\displaystyle{ -6}\). Ile wynosi reszta z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ x^2 - x - 2}\)?

19. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) iloczyn wielomianów \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) jest równy wielomianowi \(\displaystyle{ h}\), gdzie:
a) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2}mx - 2}\),
\(\displaystyle{ g(x) = x + 2m + 1}\),
\(\displaystyle{ h(x) = x^2 +4x - 21}\)

b) \(\displaystyle{ f(x) = mx + 1}\),
\(\displaystyle{ g(x) = x - 2m}\).
\(\displaystyle{ h(x) = 2x^2 - 3x + 1}\)

20. Podać przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, posiadającego pierwiastek \(\displaystyle{ \sqrt{5} + \sqrt{7}}\).

21. Pokazać, że dla dowolnego całkowitego \(\displaystyle{ c}\), wartości wielomianu \(\displaystyle{ x^5 - 5x^3 + 4x}\) są liczbami podzielnymi przez \(\displaystyle{ 120}\).

22. Liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + mx^2 - 7x + n}\). Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

23. Rozłożyć na czynniki (stopnia najniżej pierwszego) wielomiany:
\(\displaystyle{ W(x) = x^4 + 7x^3 + 10x^2 \\
W(x) = 8x^5 + 6x^4 - 2x^3 \\
W(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x}\)


24. Obliczyć sumę współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = \left( 4x^2 - 3x - 2 \right) ^{2003}}\).

25. Udowodnij wzory Viete'a dla wielomianu stopnia 3.

26. Rozłożyć na czynniki wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^4 + x^2 + 1}\).

27. Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\) jest równa \(\displaystyle{ 5}\), a reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) wynosi \(\displaystyle{ 7}\). Wyznacz reszte z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)}\).

28. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x) = (x+1)(x-1)(x-2)}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ W(-1) = -1}\) , \(\displaystyle{ W(1) = 1}\) , \(\displaystyle{ W(2) = 2}\).

29. Wiedząc, że równanie \(\displaystyle{ x^2 + x^3 - 7x^2 + ax + b = 0}\) ma rozwiązania \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=-1}\), rozwiązać nierówność: \(\displaystyle{ x^4 + x^3 - 7x^2 + ax+ b > 0}\).

30. Nie używając dzielenia wielomianów rozstrzygnij, czy wielomian \(\displaystyle{ d(x) = x^2 - 1}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ w(x) = -3x^4 + 4x^2 - 5x + 7}\).

31. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których wielomian \(\displaystyle{ W(x) = (4a+3)x^{3} + 9ax^{2} + 6ax + a + 2}\) może być przedstawiony jako trzecia potęga pewnego dwumianu.

32. Rozłóż na czynniki wielomian \(\displaystyle{ x^{4} + 1}\).

33. Wyznacz stopień wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = \left( x+1 \right) \left( x^2+1 \right) \left( x^4+1 \right) \ldots \left( x^{2n} +1 \right)}\).

34. Wyznacz współczynniki przy \(\displaystyle{ x^9}\) i \(\displaystyle{ x^{10}}\) w wielomianie \(\displaystyle{ W(x) = \left( x-1 \right) \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) \ldots \left( x-10 \right)}\).

35. Wyznacz sumę współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = 3 \left( \left( x^3-3x+3 \right) ^{2002} \right) -4 \left( \left( x^3+2x^2-4 \right) ^{2003} \right)}\).

36. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest dowolnym wielomianem, zaś para; \(\displaystyle{ a}\) - dowolną liczbą rzeczywistą, to wielomian \(\displaystyle{ f(x) - f(a)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x - a}\).

37. Niech \(\displaystyle{ r(p,q)}\) oznacza resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ p(x)}\) przez \(\displaystyle{ q(x)}\). Udowodnij, że wyrażenie \(\displaystyle{ r \left( p_{1}+p_{2},q \right) =r \left( p_{1},q \right) +r \left( p_{2},q \right)}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ r \left( \left( p_{1} \right) \left( p_{2} \right) ,q \right) =r \left( \left[ r \left( p_{1},q \right) \right] \left[ r \left( p_{2},q \right) \right] ,q \right)}\).

38. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), równanie \(\displaystyle{ x^4 - (a+1)x^2 + 4 = 0}\) ma cztery różne pierwiastki?

39. Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistego, zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1>0}\).

40. Rozłóż na czynniki wielomiany:
\(\displaystyle{ W(x) = 2x^3 - 5x^2 - 8x + 20 \\
W(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6}\)


41. Rozłóż na czynniki i podaj pierwiastki wielomianów:
\(\displaystyle{ W(x) = 125x^3 - 27 \\
W(x) = 8x^4 + 27x \\
W(x) = 4x^4 + 9}\)


42. Wyznacz wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), tak, że suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = \left( x^2 + 5x - 7 \right) ^{1999} \left( ax^2 +2x - 2000 \right)}\) wynosiła \(\displaystyle{ -2}\).

43. Suma pierwiastków trójmianu kwadratowego \(\displaystyle{ g}\) jest równa \(\displaystyle{ -1}\), zaś iloczyn tych pierwiastków \(\displaystyle{ -2}\). Zapisz wzór w postaci ogólnej jeśli \(\displaystyle{ g(0)=6}\).

44. Rozłóż na czynniki wielomiany:
\(\displaystyle{ x+y+2x+2y \\
ax+ay+bx-by \\
my-m-y+1 \\
a+ab-b-1 \\
3x^2+2x+3xy+2y \\
mx+my+kx+gx+ky+gy}\)


45. Nie wykonując dzielenia znajdż resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ U(x)}\), wiedząc że \(\displaystyle{ W(x) = x^5 - x^3 + x^2 - 1}\) i \(\displaystyle{ U(x) = (x-1)(x+1)(x+2)}\).

46. Rozłóż wielomian \(\displaystyle{ ax-ay+bx-by}\) na czynniki.

47. Wielomian rzeczywisty \(\displaystyle{ W(x)}\) przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych, jeżeli \(\displaystyle{ W(x) = x^6 + 8}\).

48. Dowód twierdzienia o istnieniu pierwiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych.

49. Bez obliczania pierwiastków wyznaczyć sumę ich odwrotności, jeżeli równanie ma postać \(\displaystyle{ 2x^2 + 4x +1 = 0}\).

50. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ |x^3+x+1| = 1}\) i nierówność: \(\displaystyle{ \left| x^2-4\right| \left( x^3-1 \right) <0}\).

51. Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a, b}\) liczba \(\displaystyle{ x_0 = -1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=6x^4+8x^3-8x^2+ax+b}\)?

52. Znajdź trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ y=x^2 + bx + c}\), wiedząc, że suma jego pierwiastków jest równa \(\displaystyle{ 8}\) i dla \(\displaystyle{ x=0}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 15}\).

53. Wiedząc, że trójmian \(\displaystyle{ ax^2 + bx + c}\) przyjmuje wartość największą równą \(\displaystyle{ 11}\) dla \(\displaystyle{ x=3}\), obliczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = 2x^4+4x^3+ax^2+bx+2}\) przez \(\displaystyle{ x-1}\).

54. Przy jakich wartościach \(\displaystyle{ a, b}\) trójmian \(\displaystyle{ ax^{20} + bx^{19} + 1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2 + x + 1}\)?

55. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = ax^2 + bx + c}\), przy czym:
\(\displaystyle{ W \left( 1 \right) = m+2 \\
W \left( \frac{1}{3} \right) = m \\
W \left( - \frac{1}{3} \right) = m - 2}\)

gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest pewną liczbą. Pokazać, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 1}\).

56. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), wielomian \(\displaystyle{ P(x) = x^4 + mx^3 - \left( m+1 \right) x^2 - mx + m}\) ma cztery pierwiastki?

57. Doprowadź do postaci iloczynowej lewą stronę równania \(\displaystyle{ 24x^3 -2x^2 -9x +2 = 0}\).

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Zbiór zadań - WIELOMIANY

Post autor: klaustrofob » 21 mar 2009, o 09:08

Czy ktoś mógłby poprawić zapis w zadaniu 15?

zjemcichleb93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 gru 2010, o 13:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zbiór zadań - WIELOMIANY

Post autor: zjemcichleb93 » 23 gru 2010, o 13:42

zadanie 1.
Suma współczynników równa sie W(1) więc:
\(\displaystyle{ W(1)=-2}\)

\(\displaystyle{ W(1)=((1+5-7)^{1999})(a+2-2000)=(-1)^{1999}(a-1998)=-a+1998}\)

\(\displaystyle{ -2=-a+1998}\)

\(\displaystyle{ a=2000}\)
Ostatnio zmieniony 23 gru 2010, o 22:28 przez zjemcichleb93, łącznie zmieniany 1 raz.

miodzio1988

Zbiór zadań - WIELOMIANY

Post autor: miodzio1988 » 23 gru 2010, o 13:46

zjemcichleb93, w treści zadania masz przecież napisane, że \(\displaystyle{ W(1)=-2}\)

Więc źle zrobiłeś zadanie. Po kliknięciu na numerek zadania przecież masz poprawne rozwiązanie

ODPOWIEDZ