wykazanie inkluzji działań uogólnionych

[jak to]

1. Majac zbiór określony \(\displaystyle{ A _{n} = [ 1+ \frac{1}{n}, 3+ \frac{2}{n})}\) Znajdź sumę i iloczyn uogólniony tej rodziny zbiorów.

2. Majac zbiór określony \(\displaystyle{ A _{n} = [ (-1) ^{n} , 3- \frac{1}{n^{2}}]}\) Znajdź sumę i iloczyn uogólniony tej rodziny zbiorów.


Jak znaleźć zbiory to wiem. Można sobie wypisac kilka początkowych i napisać ogólny zbiór. Tylko mam problem z wykazaniem inkluzji w obie strony. Sume jeszcze jakos na siłę moze sie udac przy łatwym przykładzie ale iloczynu już nie daję rady. Jakby ktoś mógł naprowadzic jak to zrobić byłbym wdzieczny.

-- 20 gru 2010, o 20:53 --

A może ja źle określam te działania uogólnione i dlatego nie chce mi wyjść. Czy ktoś wie jakie są tam te sumy i iloczyny uogólnione??

[Jan Kraszewski]

1. Zgubiłeś nawiasy w definicjach zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\).
2. Podaj wyniki, to sprawdzimy.

JK

[jak to]

\(\displaystyle{ 1. \bigcup_{n}^{A _{n} } =(1;5)}\)
\(\displaystyle{ 2. \bigcap_{n}^{A _{n} }=[2;3]}\)
Tylko teraz mam udowodnic inkluzje w dwie strony. Jak to robie, to w sumie dochodze do wniosku, ze \(\displaystyle{ x \in (2;5)}\) czyli sie nie zgadza bo miało byc od (1;5). Nie wiem gdzie, ale gdzieś mam niedobre rozumowanie. Podobnie w drugim przykładzie i kilku. Pierwsza cyfra mi się ni zgadza.

[Jan Kraszewski]

Nie dodałeś drugich nawiasów, ale domyślam się, że są otwarte. Domyślam się też, że obie odpowiedzi są do punktu 1.

Odpowiedzi masz dobre, zatem problem jest w dowodach. Jak pokażesz dowody, to poprawimy.

JK

[jak to]

No juz poprawiłem, kompletnie zapomniałem. Tak odpowiedzi są do punktu 1. W drugim analogicznie to robiłem wiec chyba nie ma sensu podawac. CO do dowodu, to robiłem go tak:

Dla sumy:
\(\displaystyle{ " \subset "}\)- wykażemy inkluzje w tą strone

Niech \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n}^{A _{n} } \Rightarrow (\bigvee k \in N)(x \in A _{k}) \Rightarrow ( \bigvee k \in N)( x \ge 1+ \frac{1}{k} \wedge x<3+ \frac{2}{k})}\)

i z zależności otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ x \ge 1+1/1 \Rightarrow x \ge 2}\)
\(\displaystyle{ x \le 3+2/1 \Rightarrow x \le 5}\)
zatem \(\displaystyle{ x \in [2;5)}\)
No i w tym momencie mi sie nei zgadza. W drugą strone inkluzja juz jest mały problem by ja wykazac, ale jakos daje rade a iloczyn, to totalny kosmos. Nie wiem jak to zapisac nawet. Coś tam próbuje ale nie za bardzo.

[Jan Kraszewski]

Nie wpisuj zbioru \(\displaystyle{ A_n}\) w indeksie górnym sumy...

Dla sumy:
\(\displaystyle{ " \subset "}\)- wykażemy inkluzje w tą strone

Niech \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n}^{A _{n} } \Rightarrow (\bigvee k \in N)(x \in A _{k}) \Rightarrow ( \bigvee k \in N)( x \ge 1+ \frac{1}{k} \wedge x<3+ \frac{2}{k})}\)

i z zależności otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ x \ge 1+1/1 \Rightarrow x \ge 2}\)

A na jakiej podstawie przyjąłeś, że to \(\displaystyle{ k}\), które istnieje, ma być równe \(\displaystyle{ 1}\)?

JK