Wyznaczyć wartości parametrów a,b

[mateuszm919]

dla których funkcja jest ciągła i różniczkowalna
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2x ^{2}-ax& dla\ x<1 \\ \sqrt{x}+bx& dla\ x \ge 1 \end{cases}}\)
dla \(\displaystyle{ a, b \in R}\)
Najpierw ciągłość:
obliczam granice jednostronne \(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} }\)
Wychodzi: 2-a oraz 1+b

Teraz różniczkowalność:
Obliczam pochodne jednostronne
Wychodzi 4x-a oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x ^{ -\frac{1}{2} }+b}\)
Odpowiedź brzmi, że nie istnieją takie wartości a,b nie wiem dlaczego. Proszę o wyjaśnienie.

[bedbet]

...Najpierw ciągłość:
obliczam granice jednostronne \(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} }\)
Wychodzi: 2-a oraz 1+b...

To jest bez sensu.

[Dasio11]

Żeby funkcja była ciągła i różniczkowalna, muszą istnieć poniższe granice i zachodzić równości

\(\displaystyle{ \begin{cases} \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^+} f(x) \\ \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{cases}}\).

W tym przypadku oznaczałoby to, że

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=1 \\ a+b=\frac{7}{2} \end{cases}}\)

co jest jawną sprzecznością.

[mateuszm919]

dzieki

-- 21 gru 2010, o 18:03 --

\(\displaystyle{ \begin{cases} \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^+} f(x) \\ \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{cases}}\).

Czy różniczkowalność możemy sprawdzać tylko z definicji?

[miodzio1988]

Czy różniczkowalność możemy sprawdzać tylko z definicji?

Tak jest najbezpieczniej.