Sprawdź czy zbiór z działaniem jest grupą

elzabbul · Post autor: **elzabbul** » 23 wrz 2006, o 14:31

Jeśli w zbiorze A wykonalne jest działanie "#", przy czym jest ono łączne, ma element neutralny i dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\) istnieje element odwrotny \(\displaystyle{ a^{-1}\in A}\) to ten zbiór wraz z działaniem "#" nazywamy grupą ze względu na działanie "#".
Sprawdź, czy zbiór liczb całkowitych z działaniem "#" określonym następująco a#b=b+a-3, dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in C}\)jest grupą.

Uprzejmie proszę o bardzo dokładne rozwiązanie krok po kroku (jak na maturze). Wydaje mi się, że zadanie nie jest trudne, ale nie wiem jak je zrobić..

Jeśli temat nie jest w dobrym dziale proszę o nie kasowanie tylko przeniesienie do odpowiedniego.

Przeniosłem i poprawiłem temat. Lorek

el payaco · Post autor: **el payaco** » 23 wrz 2006, o 15:05

1. \(\displaystyle{ \forall a, b, c\in A\ (a\#b)\#c=a\#(b\#c)}\) - łączność:
\(\displaystyle{ (a\#b)\#c=(b+a-3)\#c=c+b+a-3-3=ac+b-3+a-3=a\#(c+b-3)=a\#(b\#c)}\) OK

2.\(\displaystyle{ \forall a \in A \exists e \in A\ a\#e=a=e\#a}\) - element neutralny:
\(\displaystyle{ a\#e=e+a-3\Rightarrow e=3\\
e\#a=a+e-3 \Rightarrow e=3}\)
czyli \(\displaystyle{ e=3}\)

3. \(\displaystyle{ \forall a \in A \exists a^{-1} \in A\ a\# a^{-1}=e=a^{-1}\#a}\)- element odwrotny:
\(\displaystyle{ a\#a^{-1}=3\\
a^{-1}+a-3=3\\
a^{-1}=6-a}\)

\(\displaystyle{ a^{-1}\#a=3\\
a+a^{-1}-3=3\\
a^{-1}=6-1}\)
czyli \(\displaystyle{ a^{-1}=6-a}\)

Z punktów 1, 2, 3 wynika, że jest to grupa. (mam nadzieje )

upsss. zamiast A powinno być wszędzie C sorry za literówke

Post autor: **Lorek** » 23 wrz 2006, o 15:11

1. Sprawdzamy, czy działanie jest wykonalne w zbiorze
\(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{C}\\a\circ b=b+a-3\in\mathbb{C}}\)
czyli działanie jest wykonalne w zbiorze
2. Sprawdzamy, czy działanie jest łączne
\(\displaystyle{ (a\circ b)\circ c=(b+a-3)\circ c=c+(b+a-3)-3=a+b+c-6\\a\circ(b\circ c)=a\circ (c+b-3)=c+b-3+a-3=a+b+c-6}\)
działanie jest łączne
3. Szukamy elementu neutralnego
\(\displaystyle{ a\circ e=a a\circ e=e+a-3 e-3=0 e=3 e\in\mathbb{C}}\)
4. Element odwrotny
\(\displaystyle{ a\circ a^{-1}=3 a\circ a^{-1}=a^{-1}+a-3\Rightarrow a^{-1}+a-3=3 a^{-1}=6-a a^{-1}\in\mathbb{C}}\)
czyli działanie jest grupą.
dodatkowo działanie jest grupą abelową, bo
\(\displaystyle{ a\circ b=b\circ a}\)

elzabbul · Post autor: **elzabbul** » 23 wrz 2006, o 17:16

Świetnie Dzięki za pomoc, nie miałem do tej pory takich zadań.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 25 wrz 2006, o 14:18

Lorek: jest OK, ale pozwolę sobie na małą uwagę co do zapisu. Standardowo przez \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) oznaczamy liczby zespolone. Liczby całkowite to \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).

To tyle, pozdrawiam,

Post autor: **Lorek** » 25 wrz 2006, o 16:10

Temat do matury, a więc stosuję zapis licealny

Sir George · Post autor: **Sir George** » 25 wrz 2006, o 21:42

Ba, nie chcę być natrętny, ale co to takiego zapis licealny?
U mnie w liceum stosowaliśmy zapis taki, jaki podałem...

Post autor: **Lorek** » 25 wrz 2006, o 22:06

W jednym liceum tak, w drugim inaczej, ja się dostosowuję do autora tematu.