Kwadratowy, progresywny szereg liczbowy

[szlongin]

Witam.
Poszukuję odpowiedzi na pytanie, czy znany jest wzór matematyczny pozwalający zliczyć następujący szereg liczbowy:
\(\displaystyle{ 1^{2}+(1^{2}+2^{2})+(1^{2}+2^{2}+3^{2})+(1^{2}+2^{2}+3^{2}+a^{2})}\), gdzie a=4, z którego to wzoru można by było określić sumę szeregu dla każdego a, kończącego szereg?

[sushi]

coś na końcu zapisu jest niewyraźnie !!!!!!! popraw to

[szlongin]

Jestem "raczkującym" na forum i nie bardzo wiem jak to poprawić.
Tam na końcu ma być +\(\displaystyle{ a^{2}}\), kończące szereg, ale "a" napisane kursywą.
Z kursywy nic nie wyszło powstał tylko dziwoląg. Myślę jednak, że po tym wyjaśnieniu będzie to zrozumiałe. Przepraszam za niedogodność.

[sushi]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (1^2+2^2+ 3^2+ \ldots + n^2)}\)

[ Dodano: 22 Wrzesień 2006, 16:27 ]
szereg rozbieżny do plus nieskończonośc, a sumy częściowe ??

[ Dodano: 22 Wrzesień 2006, 16:41 ]
taki wzór na sumę nieparzystych:
\(\displaystyle{ 1^2+3^2+5^2+ \dots +(2n-1)^2=== \frac{n}{3}(4n^2-1)}\)

\(\displaystyle{ 2^2+ 4^2+6^2+ 8^2= (1 2)^2+ (2 2)^2+ (3 2)^2 + (4 2)^2= 4 1^2 + 4 2^2 + 4 3^2 + 4 4^2}\)
i potem dalej znowu grupować na parzyste i nieparzyste ... taka zabawa

[szlongin]

W porządku, trafnie to oceniasz. Ale czy istnieje formuła matematyczna pozwalająca zliczyć te sumy cząstkowe jednym wzorem, dla każdego n zamykającego ostatnią sumę cząstkową?

[sushi]

podałem wzór na nieparzyste to każdego nawiasu, a parzyste to trzeba tak rozpisać by dostać nieparzyste jakąś sume

[juzef]

Ta suma będzie wielomianem czwartego stopnia. Proponuję ułożyć i rozwiązać odpowiedni układ równań.

Ewentualnie można się pobawić w przekształcenie tego i skorzystanie ze wzorów
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^3={(\frac{n(n+1)}{2})}^2}\)

Po dłuższych obliczeniach wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{a(a+1)^2(a+2)}{12}}\).

[szlongin]

Widzę, że sytuacja komplikuje się, padają nowe propozycje jak podejść tego jeża a problem istnienia czy nieistnienia jednolitej formuły matematycznej zliczającej ten szereg pozostaje nadal otwarty.

[plociek]

Po dłuższych obliczeniach wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{a(a+1)^2(a+2)}{12}}\).

No jak, przecież juzef podał ostateczny wzór na skończoną postać tej sumy. I to jest właśnie ta formuła licząca to wyrażenie.

[szlongin]

Oczywiście, że to jest ta formuła.
Gratuluję juzefowi.
Moje uznanie i podziękowanie.
Mój post napisałem jednak wcześniej i wyslałem go zanim zobaczyłem rozwiązanie a z powodu pilnych zajęć nie miałem czasu na jego sprostowanie, za co gorąco przepraszam.