Dwa trudne zadania - ciąg geometryczny

[ChevChelios]

1. Jaką liczbę należy dodać do każdej z liczb 1, 11 i 111, aby powstałe sumy utworzyły ciąg geometryczny?

2. W konkursie literackim przyznano pewną liczbę nagród pieniężnych, na łączną sumę 34 390 zł. Pierwsza nagroda wynosiła 10 000 zł, każda następna była pewną częścią (tą samą) poprzedzającej nagrody. Ile przyznano nagród, jeśli wiadomo, że ostatnia wynosiła 7290 zł?

[szatkus]

\(\displaystyle{ \frac{111+x}{11+x}=\frac{11+x}{1+x}\\}\)
Po policzeniu (dla mnie policzył to komputer) wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{1}{9}}\)

[ChevChelios]

Dziękuję szatkus za pierwsze zadanie
Proszę was jeszcze o pomoc z drugim.

[szatkus]

\(\displaystyle{ \begin{cases}
10000\frac{1-q^n}{1-q}=34390\\
10000q^{n-1}=7290
\end{cases}\\
\frac{10000}{1-q}-\frac{10000q^n}{1-q}=34390\\
\frac{10000}{1-q}-\frac{7290q}{1-q}=34390}\)
Resztę pozostawiam Tobie.

[ChevChelios]

Obliczyłem q i wyszło mi że wynosi 0,9. Z tyłu książki napisane jest że nagród jest cztery, sprawdziłem to wzorem \(\displaystyle{ a_{2}=a_{1}\cdot q}\) i tak do \(\displaystyle{ a_{4}}\) które wynosi właśnie 7290, ale jak wiadomo n trzeba obliczyć wzorem \(\displaystyle{ a_{n}= a_{1} \cdot q^{n-1}}\). Próbowałem to n obliczyć i wygląda to tak:
\(\displaystyle{ 72900=10000 \cdot ( \frac{9}{10} ) ^{n-1} / \cdot \frac{1}{10000}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{10000} \cdot \frac{72900}{1}=( \frac{9}{10} )^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{100} \cdot \frac{729}{1}=( \frac{9}{10} )^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{729}{100}=( \frac{9}{10} )^{n-1}}\)

I na tym się zatrzymałem. Nie wiem czy dobrze to zrobiłem, a nawet jeśli to nie wiem jak to obliczyć do końca.

[szatkus]

Hint:
\(\displaystyle{ \frac{729}{1000}=\frac{9^3}{10^3}}\)

[ChevChelios]

Zdążyłem zauważyć błąd że dodałem o jedno zero za dużo ale i tak dzięki