Algebra Boole'a - dowód

[adamknur]

Witam

Proszę o pomoc przy rozwiązaniu dwóch zadań ponieważ brak mi na to pomysłu

1.Korzystając z twierdzeń i aksjomatów algebry Bool'a udowodnij, że wyrażenie:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x+y) \cdot \overline{z}+y \cdot z+x}\)
Można uprościć do postaci:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=x+y}\)
Rozwiązując podaj z jakich aksjomatów i twierdzeń korzystasz.

2.Udowodnij, że dla dowolnej algebry Bool'a
\(\displaystyle{ B=(B, \wedge , \vee , \neg ,0,1)}\)
Spełnione jest prawo:
\(\displaystyle{ \forall x,y \in B}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (x \vee y) \cdot (x \vee \neg y)=x}\)
Uwaga
\(\displaystyle{ \neg x=\overline{x}}\)

-- 14 gru 2010, o 10:40 --

Też uważam, że osoba, która wymyśliła te zadania mnie nie lubi

[Tomasz Tkaczyk]

W (a) dwa razy rozdzielność mnożenia względem dodawania i dwa razy własności jedynki.

(b)

Dla każdych zbiorów \(\displaystyle{ (A \cup B) \cap (A \cup B^{c}) = A}\), bo dopełnienia \(\displaystyle{ B}\) się wykluczają. Diagram Venna.

[kjs]

A krok po kroku, potrafi to ktos stosownie opisac?

// edit
Ok, juz nieaktualne, udalo mi sie dojsc do tego

[Tomasz Tkaczyk]

1. \(\displaystyle{ (x+y) \cdot (-z) + y \cdot z + x = x \cdot (-z) + y \cdot (-z) + y \cdot z + x =
x \cdot (-z) + y(-z + z) + y \cdot z + x = x \cdot (-z) + y + y \cdot z + x = x \cdot (-z) + y(1 + z) + x=
x \cdot (-z) + y + x = x(-z + 1) + y = x + y}\).

2. Weźmy dwa dowolne zbiory \(\displaystyle{ A, B}\).

\(\displaystyle{ x \in (A \cup B) \cap (A \cup B^{c}) \Leftrightarrow x \in A \cup B \wedge x \in A \cup B^{c} \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in B^{c}) \Leftrightarrow
x \in A \vee x \in B \cap B^{c} \Leftrightarrow x \in A}\).

[kjs]

Bardzo dziekuje! Bardzo pomocna byla sugestia o rozdzielnosci i wlasnosciach 'jedynki'.