Szereg, do sprawdzenia

[piootrekk]

Oceń zbieżność szeregu o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n^2 + 1}{n^2} \cdot tg^3 \frac{1}{n}}\)
hipoteza: ciąg jest zbieżny,
korzystając z \(\displaystyle{ tg \frac{1}{n} \le \frac{2}{n}}\)

mamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{n^2 + 1}{n^2} \cdot tg^3 \frac{1}{n} \le \frac{n^2 + 1}{n^2} \cdot \frac{8}{n^3} = 8(1+ \frac{1}{n^2}) \cdot \frac{1}{n^3} = \frac{8}{n^3} + \frac{8}{n^5}}\)

i z tego wynika zbieżność szeregu bo szeregi \(\displaystyle{ \frac{1}{n^3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{n^5}}\) są zbieżne

[Lbubsazob]

Albo możesz to po prostu wymnożyć i masz \(\displaystyle{ \frac{n^2+1}{n^2} \cdot \frac{8}{n^3}= \frac{8(n^2+1)}{8n^5}}\), a to jest szereg zbieżny jako harmoniczny rzędu 5.

[piootrekk]

Ok, dzięki wielkie