Całka nieoznaczona

[ola_opo]

\(\displaystyle{ \int \sqrt{1 + sinx } dx}\)

[Piotr654]

Najlepiej tak:
\(\displaystyle{ 1+sinx = 2cos ^{2} \left( \frac{1}{4}\pi - \frac{1}{2}x \right)}\)
Znika nam pierwiastek i po kłopocie.

[ola_opo]

I to wszystko ? Przepraszam, że tak pytam ale jestem totalnie zielona w całkowaniu bo dopiero zaczynam a zgłosiłam się do rozwiązania tej całki żeby otrzymać dodatkowe punkty ;o . Mógłbyś mi dokłądnie wyjaśnić krok po kroku? bo muszę to przedstawić na forum na wykładzie dla 120 osób

[Piotr654]

No nie wiem, jeżeli zaczynasz dopiero z całkowaniem. W zasadzie z pierwiastka powstanie moduł i wypada użyć potem funkcji sgn. (Poprzez funkcje elementarne ta całka się chyba nie wyraża, przynajmniej ja tego nie widzę). Opuszczasz pierwiastek i masz moduł z tego wyrażenia podpierwiastkowego i tu trzeba rozwazyć 2 przypadki, potem ubrac to w jeden używając funkcji sgn, która niestety nie jest elementarna.

[ola_opo]

No przyznam, że dużo mi to nie mówi co i jak mam robić . ale dziękuję za chęci mam do tego czasu tydzień to może jakoś ogarnę to.. ale jeżeli ktoś byłby taki dobry, żeby pokazać tutaj jak to się rozwiązuje byłabym bardzoo wdzięczna!

[Piotr654]

Mamy taki ogólny wzór: \(\displaystyle{ \cos^{2}x = \frac{1+cos2x}{2}}\). Musimy go teraz przekształcić na nasze potrzeby. Zamieniamy w cosinusie 2x na x, a co za tym idzie wrzucamy do cosinusa po lewej stronie równości \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x}\), czyli \(\displaystyle{ 2\cos^{2}\frac{1}{2}x = 1+cosx}\) mamy jeszcze problem, że w tym wzorze jest sinus a nie cosinus, więc musimy wyrazić funkcję cosinus za pomocą sinusa, czyl \(\displaystyle{ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)}\), teraz dla ułatwienia podstawmy \(\displaystyle{ t = \frac{\pi}{2} - x \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} - t}\) i to podstawiamy za x po lewej stronie równości otrzymując: \(\displaystyle{ 2\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}t) = 1+sint}\). Ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+\sin x}=\int \sqrt{2\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x)}=\int \left| 2\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x)\right|=\begin{cases} \sqrt{2} \int \cos(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x) \\
-\sqrt{2} \int \cos(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x) \end{cases}=\begin{cases} -2\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x) + C \\ 2\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x) + C_1 \end{cases}}\)
Teraz użyjemy funckji \(\displaystyle{ sgn(x)}\), która zwraca znak x. W naszym przypadku funcją x będzie (to z czego braliśmy moduł, bo z tego powstała różnica znaków) \(\displaystyle{ \cos(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x)}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ \begin{cases} -2\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x) + C \\ 2\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x) + C_1 \end{cases} = 2\sqrt{2} sgn(\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x)) \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}x) + C_2}\)