trójkat równoboczny
-
darek20
- Użytkownik
- Posty: 874
- Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wszedzie
- Podziękował: 248 razy
- Pomógł: 10 razy
trójkat równoboczny
Pokaż że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ (\sin B+\sin C)^2=\cos 2A+\frac 72.}\)
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
trójkat równoboczny
zauważmy że
\(\displaystyle{ \cos 2A+\frac 72=(\sin B+\sin C)^2 \le \\ 4 \sin^2 \frac{B+C}{2} = 4 \sin^2 \frac{\pi - A}{2} = \\ 4 \cos^2 \frac{A}{2} \le \cos 2A+\frac 72}\)
pierwsza nierówność wynika z Jensena dla wklęsłej funkcji sinus, a druga nierówność po drobnych przekształceniach jest równoważna takiej \(\displaystyle{ (1-2 \cos A)^2 \ge 0}\)
czyli tam muszą zachodzić równości, tzn. \(\displaystyle{ B=C}\) i \(\displaystyle{ \cos A = \frac{1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ A=B=C=\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \cos 2A+\frac 72=(\sin B+\sin C)^2 \le \\ 4 \sin^2 \frac{B+C}{2} = 4 \sin^2 \frac{\pi - A}{2} = \\ 4 \cos^2 \frac{A}{2} \le \cos 2A+\frac 72}\)
pierwsza nierówność wynika z Jensena dla wklęsłej funkcji sinus, a druga nierówność po drobnych przekształceniach jest równoważna takiej \(\displaystyle{ (1-2 \cos A)^2 \ge 0}\)
czyli tam muszą zachodzić równości, tzn. \(\displaystyle{ B=C}\) i \(\displaystyle{ \cos A = \frac{1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ A=B=C=\frac{\pi}{3}}\)