Witam
Mam mały problem z zastosowaniem iteracyjnej metody Richardsona do rozwiązywania bardzo dużych
układów równań, gdzie macierz współczynników jest dana w postaci rozrzedzonej.
Nie było żadnego problemu z zaimplementowaniem tej metody. Sam zamysł jest podobny do opisu wziętego z książki Kincaid, Cheney z tym, że ja dodatkowo mam parametr \(\displaystyle{ \tau}\), który niby ma przyśpieszyć zbieżność. Ogólny wzór na m+1 przybliżenie przedstawia się następująco:
\(\displaystyle{ \vec{x}^{(m+1)} = \vec{x}^{(m)} + \tau (\vec{b} - A \cdot \vec{x}^{(m)})}\).
Problem jest następujący: Jak dobrać współczynnik \(\displaystyle{ \tau}\) w bardzo konkretnym przypadku.
Należy dobrać \(\displaystyle{ \tau}\) dla dyskretyzacji dwuwymiarowego laplasjanu, rozwiązuję dwuwymiarowe zadanie Poissona. Jeżli \(\displaystyle{ h_{1} = \frac{1}{N+1},~h_{2} = \frac{1}{M+1}}\)
oznaczają odpowiednio odstęp w pionie i poziomie pomiędzy węzłami siatki. Chciałem skorzystać z tw. Gerszgorina. Ponieważ wszystko u mnie jest rzeczywiste to środki wszystkich kół Gerszgorina wypadają na osi OX. Dodatkowo wszystkie koła mają wspólny środek w punkcie
\(\displaystyle{ (2(h_{1}^2+h_{2}^2), 0)}\) i promienie \(\displaystyle{ h_{1}^2+h_{2}^2,~2h_{1}^2+h_{2}^2,~h_{1}^2+2h_{2}^2,~2h_{1}^2+2h_{2}^2}\).
Wydawało mi się, że należy przyjąć \(\displaystyle{ \tau = \frac{1}{2(h_{1}^2+h_{2}^2)}}\), czyli odwrotność środka. Niby liczy dobrze, ale liczba iteracji jest taka sama jak w przypadku metody Jakobiego.
Czy oznacza to, że można wybrać lepszy współczynnik czy, że met. Richardsona dla tego przypadku nie wyciśnie więcej niż metoda Jakobiego?
Pozdrawiam i z góry dziękuję
Adam-- 17 grudnia 2010, 00:09 --Możecie uznać, że pytania nie było. Już sobie policzyłem, że nie uzyskam nic więcej niż met. Jakobiego.
Nie przemyślałem dobrze tego pytania.