Funkcja różnowartościowa i na.

[bratka]

Witam. Mam problem ze sprawdzaniem czy funkcja jest różnowartościowa i na. Jakby ktoś mógł na podstawie przykładu napisać co i jak po kolei trzeba robić byłabym bardzo wdzięczna

\(\displaystyle{ a) x^{4}-5 x^{2} +4x}\)

lub
\(\displaystyle{ b) \frac{2x}{x ^{2} +1}}\)

[Tomek_Z]

A na jakich zbiorach są określone te funkcje ?

[arturd]

a) Niech \(\displaystyle{ f(x)=x^4-5x^2+4x}\).
Wtedy \(\displaystyle{ f(x)=xg(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)=x^3-5x+4}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty} g(x)= +\infty,\quad \lim_{ x\to -\infty} g(x)=-\infty}\), to z ciągłości istnieje \(\displaystyle{ x_0}\) taki, że \(\displaystyle{ g(x_0)=0}\).
Zatem \(\displaystyle{ f(0)=f(x_0)=0}\). Czyli nie jest różnowartościowa.
Żeby powiedzieć czy funkcja jest "na" trzeba podać jej przeciwdziedzinę.

b) Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x}{x^2+1}}\).
Załóżmy, że dla \(\displaystyle{ x_1\not=x_2}\) mamy \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_1^2+1}=\frac{x_2}{x_2^2+1}}\). A stąd
\(\displaystyle{ x_1x_2=1}\).
Na przykład \(\displaystyle{ f(\frac{1}{2})=f(2)=\frac{4}{5}}\) i funkcja nie jest różnowartościowa.

[Jan Kraszewski]

ad a) \(\displaystyle{ f(0)=f(1)=0}\)

JK