Zbieżność szeregów z f. trygonometrycznymi i logartymami

[piootrekk]

Muszę z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów, szukałem przez wyszukiwarkę, ale nic nie mogłem znaleźć ;O :
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{n} ln(1+ \frac{1}{n} )}\) - tego nie wiem jak rozwiązać.

To nie wiem czy dobrze:
\(\displaystyle{ a_{n} = sin \frac{1}{n} \ge \frac{1}{n}}\) i z tego wynika rozbieżność szeregu.

\(\displaystyle{ a_{n} = sin \frac{1}{ n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}}\) i z tego wynika zbieżność szeregu.

I nie wiem jeszcze takich dwóch:
\(\displaystyle{ a_{n}=tg^{2} \frac{1}{n}}\)
oraz
\(\displaystyle{ a_{n}=cos \frac{1}{n+1} - cos \frac{1}{n}}\)

Z góry dzięki za pomoc. ;D

[Lorek]

To nie wiem czy dobrze:
\(\displaystyle{ a_{n} = sin \frac{1}{n} \ge \frac{1}{n}}\) i z tego wynika rozbieżność szeregu.

\(\displaystyle{ a_{n} = sin \frac{1}{ n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}}\) i z tego wynika zbieżność szeregu.

To w końcu w którą stronę ta nierówność?

1. \(\displaystyle{ \ln(1+ x)\le x}\)
4. Od pewnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \tg\frac{1}{n}\le \frac{2}{n}}\)
5. Różnica cosinusów.

[Arst]

\(\displaystyle{ \sin \frac{1}{n} \ge \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{\pi}}\)

Albo z kryterium asymptotycznego

[piootrekk]

To nie wiem czy dobrze:
\(\displaystyle{ a_{n} = sin \frac{1}{n} \ge \frac{1}{n}}\) i z tego wynika rozbieżność szeregu.

\(\displaystyle{ a_{n} = sin \frac{1}{ n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}}\) i z tego wynika zbieżność szeregu.

To w końcu w którą stronę ta nierówność?

1. \(\displaystyle{ \ln(1+ x)\le x}\)
4. Od pewnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \tg\frac{1}{n}\le \frac{2}{n}}\)
5. Różnica cosinusów.

Um no myślałem ze ta nierówność zmienia się w zależności czy przyjmujemy że szereg jest rozbieżny albo zbieżny, przynajmniej tak zrozumiałem te kryterium.

[Lorek]

Um no myślałem ze ta nierówność zmienia się w zależności
czy przyjmujemy że szereg jest rozbieżny albo zbieżny, przynajmniej tak zrozumiałem te kryterium.

Hmm, chyba chodzi ci o to: Jeśli \(\displaystyle{ a_n\ge b_n}\) i \(\displaystyle{ \sum a_n}\) zbieżny to \(\displaystyle{ \sum b_n}\) też (no i tam z 2. opcją podobnie). Natomiast ty napisałeś, że raz jest \(\displaystyle{ \sin x\ge x}\) a raz, że \(\displaystyle{ \sin x\le x}\), co (no niby nie zawsze, ale w tym przypadku tak) się wzajemnie wyklucza.

[piootrekk]

Dobra, przepraszam że poraz kolejny podbijam temat, te z sinusami zrozumiałem te z logarytmem chyba tez , ale nie jestem pewnien czy dobrze:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n} \ ln (1+ \frac{1}{n} )}\)

i jesli wiemy że: \(\displaystyle{ ln (1+ \frac{1}{n} ) \le \frac{2}{n}}\)

to: \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n} \ ln (1+ \frac{1}{n}) \le \frac{2}{n^{2}}}\)

i tu na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}}\) wynika zbieżność szeregu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n}}\). Dobrze myślę?

[Lorek]

Tak, co prawda wystarcza \(\displaystyle{ \ln(1+\frac{1}{n})\le \frac{1}{n}}\) ale jak chcesz \(\displaystyle{ \frac{2}{n}}\) to może być i to.

[Dasio11]

Mała uwaga: w ostatnim szeregu nie potrzeba nam różnicy cosinusów. Wystarczy zapisać sobie sumę kilku pierwszych wyrazów i wyciągnąć wnioski.