obliczyc granicę funkcji

[Cecylia]

\(\displaystyle{ \lim_{ \to 0} x \frac{tg7x}{tg2x}}\)

[gosia19]

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{tg7x}{tg2x}=\frac{7}{2} \Rightarrow \lim_{ x \to 0 } x\frac{tg7x}{tg2x}=0}\)

[Cecylia]

dlaczego 7/2?

[gosia19]

Mamy tutaj symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ [\frac{0}{0}]}\) Zatem korzystając z reguły de l'Hospitala mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{tg7x}{tg2x}\stackrel{[H]}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{cos^2(7x)}}{\frac{2}{cos^2(2x)}}=\lim_{x \to 0}\frac{7cos^2(2x)}{2cos^2(7x)}=\frac{7}{2}}\)

[kkkkkk13916]

mamy takie wlasnosci:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{tgx}{x}=1 \lim_{x \to0 } \frac{x}{tgx}=1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{tg7x}{tg2x} = \lim_{ x\to 0} \frac{tg7x}{7x} \cdot \frac{2x}{tg2x} \cdot \frac{7x}{2x}= \frac{7}{2}}\)