Proszę o pomoc w dokończeniu,zawsze się zawieszam na ostatniej nierówności i nie wiem co dalej ... Czy np. w b i d mogę podnieść do kwadratu żeby to wykazać?? Dziękuję
Udowodnić przez indukcję dla \(\displaystyle{ n \in N+}\)
a) \(\displaystyle{ 3^{n} > n^{3}}\)
b) \(\displaystyle{ 3n> \sqrt{n} + 1}\)
c) \(\displaystyle{ (n-1) ^{2} > \frac{n-8}{n+1}}\)
d) \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } + \frac{1}{ \sqrt{n+1} } \ge \sqrt{n}}\)
AD.
a)
\(\displaystyle{ T(n) = 3^{n} > n^{3}}\)
Dla \(\displaystyle{ n = 3}\) mamy równość
\(\displaystyle{ T(4) = 3 ^{4} > 4 ^{3} = 81 > 64}\)
\(\displaystyle{ T(n+1) = 3^{n+1} > (n+1)^{3}}\)
\(\displaystyle{ L= 3 ^{n+1} = 3 ^{n}*3 > 3*n ^{3} = ?[ (n+1)^{3} +2n^{3} - 3n^2 -3n -1 > (n+1) ^{3} ] ?}\)
AD.
b)
\(\displaystyle{ T (n) = 3n> \sqrt{n} + 1}\)
\(\displaystyle{ T(1) = 3 > 2}\)
\(\displaystyle{ T(n+1) = 3(n+1)> \sqrt{n+1} + 1}\)
\(\displaystyle{ L= 3(n+1) =3n +3 > \sqrt{n} +1 + 3 = ?[\sqrt{n} +4 > \sqrt{n+1}+ 1]?}\)
AD.
c)
\(\displaystyle{ T(n) = (n-1) ^{2} > \frac{n-8}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ T(0)= 1 > -8}\)
\(\displaystyle{ T(n+1) = n^{2} > \frac{n-7}{n+2}}\)
\(\displaystyle{ L = n^{2} = (n-1)^{2} + 2n -1 > ?[\frac{n-8}{n+1} +2n-1 > \frac{n-7}{n+2}]?}\)
AD.
d)
\(\displaystyle{ T(n) = \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } \ge \sqrt{n}}\)
\(\displaystyle{ T(1) = 1 \ge 1}\)
\(\displaystyle{ T(n+1) = \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n}} + \frac{1}{ \sqrt{n+1}} \ge \sqrt{n+1}}\)
\(\displaystyle{ L= ?[\sqrt{n} + \frac{1}{ \sqrt{n+1} } \ge \sqrt{n+1}]?}\)