Mam dwa zadania:
1. pokazać, że \(\displaystyle{ q(x,y)= \sqrt{(x _{1}-y_{1}) ^{2}+(x_{2}-y_{2}) ^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ x=(x_{1}, x_{2})}\), \(\displaystyle{ y=(y_{1}, y_{2})}\) jest metryka.
2. \(\displaystyle{ q(x,y)=max\left\{ \left| x_{1}-y_{1}\right|, \left| x_{2}-y_{2}\right| \right\}}\) dla x i y takich samych jak wyżej jest mertyka.
Własność symetrii udało mi się pokazać, ale tożsamości i warunku trójkąta już nie. Kompletnie nie wiem, jak to udowodnic. Proszę o pomoc.
Metryka - udowodnić.
-
szw1710
Metryka - udowodnić.
Dla udowodnienia nierówności trójkąta w 1. poszukaj tzw. nierówności Cauchy'ego-Buniakowaskiego-Schwarza. W 2. korzystasz z nierówności trójkąta \(\displaystyle{ |a+b|\leqslant |a|+|b|}\) oraz z własności maksimum. Możesz np. wyznaczyć analitycznie maksimum dwóch liczb:
\(\displaystyle{ \max\{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|}{2}}\)
Wtedy łatwiej skorzystasz z pow. nierówności trójkąta, bez odwoływania się do własności maksimum.
A to co nazywasz tożsamością, czyli zerowaniem się tylko na równych elementach? To przecież trywialne.
PS. Teraz takie zadania robi się na topologii? Ja to miałem na analizie II na I roku tylko dlatego, że wykład z analizy nie zaczynał się od razu od przestrzeni metrycznych. Chociaż niektórzy wykładowcy preferują wprowadzenie zaraz na początku tych przestrzeni. Przyznam, że nie jest to udany pomysł.
\(\displaystyle{ \max\{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|}{2}}\)
Wtedy łatwiej skorzystasz z pow. nierówności trójkąta, bez odwoływania się do własności maksimum.
A to co nazywasz tożsamością, czyli zerowaniem się tylko na równych elementach? To przecież trywialne.
PS. Teraz takie zadania robi się na topologii? Ja to miałem na analizie II na I roku tylko dlatego, że wykład z analizy nie zaczynał się od razu od przestrzeni metrycznych. Chociaż niektórzy wykładowcy preferują wprowadzenie zaraz na początku tych przestrzeni. Przyznam, że nie jest to udany pomysł.
