sprawdź tożsamość

[kapka1a]

\(\displaystyle{ \frac{ctg\alpha}{tg2\alpha + ctg\alpha}=cos2\alpha}\)

Dzięki za pomoc.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ (tg2\alpha + ctg\alpha) cos2\alpha = sin 2\alpha + cos 2\alpha (\frac{cos }{sin })= 2 sin cos + cos 2\alpha (\frac{cos }{sin }) = cos (.....)= ctg }\)

[kapka1a]

proszę cie czy mógłbyś to rozpisać do końca.

[Ptaq666]

teraz już tylko musisz wykorzystać wzór na podwojonego cosinusa


2sinxcosx + (cosx/sinx) (1 - 2sin^2(x)) = 2 sinxcosx + cosx/sinx - 2sinxcosx = cosx/sinx = ctgx


Zanim bedziesz mieć zamiar odpowiadać w tematach naucz się poprawnie pisać w Tex'ie
Lady Tilly

[Lady Tilly]

Tam gdzie mol_książkowy zapisał te kropki powinno być tak:
\(\displaystyle{ cos\alpha(2sin\alpha+\frac{cos2\alpha}{sin\alpha})}\)
wykorzystujesz tozsamość:
\(\displaystyle{ cos2\alpha=cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha}\) więc wracając do rozpatrywanego zadania mamy:
\(\displaystyle{ cos\alpha(\frac{2sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha}{sin\alpha})}\)
z kolei to jest równe:
\(\displaystyle{ cos\alpha(\frac{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha}{sin\alpha})}\)
korzystasz z tego, że:
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1}\) i otrzymujesz ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{cos\alpha}{sin\alpha}=ctg\alpha}\)
.

[kapka1a]

mam jeszcze jedno pytanko odnośnie zapisu

\(\displaystyle{ tg^2x - tg^2y}\)

czy moge to rozpisać jako?

\(\displaystyle{ \frac{sin(x-y)^2}{cos^2x cos^2y}=\frac{sin(x-y) sin(x+y)}{cos^2x cos^2y}}\)

[Lady Tilly]

Zapisujesz tak:
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}-\frac{sin^{2}y}{cos^{2}y}}\)
sprowadzasz do wspólnego mianownika i masz:
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}xcos^{2}y-sin^{2}ycos^{2}x}{cos^{2}xcos^{2}y}}\)
a to z kolei jest równe:
\(\displaystyle{ \frac{(sinxcosy-sinycosx)(sinxcosy+sinycosx)}{cos^{2}xcos^{2}y}}\)
więc masz dobrze

[kotek]

mam jeszcze jedno pytanko odnośnie zapisu

\(\displaystyle{ \frac{sin(x-y)^2}{cos^2x cos^2y}=\frac{sin(x-y) sin(x+y)}{cos^2x cos^2y}}\)

Tak nie można.

[gaga]

\(\displaystyle{ \frac{sin(x-y)^2}{cos^2cos^2y}}\) tylko ta część jest zła.

[kotek]

Raczej AŻ, a nie TYLKO.

[Rogal]

Ponadto, jeśli się sprawdza tożsamość, to nie zakłada się, że jest prawdziwa.

[gaga]

Oczywiście Rogal ma racje.Należy "wyjść" z jednej strony i "dojść" do drugiej,czyli:
\(\displaystyle{ L=\frac{ctg\alpha}{tg2\alpha+ctg\alpha}=\frac{\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{\frac{sin2\alpha}{cos2\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}=\frac{cos\alpha*sin\alpha*cos2\alpha}{sin\alpha*(cos2\alpha*cos\alpha+sin\alpha*sin2\alpha)}=\frac{cos\alpha*cos2\alpha}{cos(2\alpha-\alpha)}=\frac{cos2\alpha*cos\alpha}{cos\alpha}=cos2\alpha=P}\)
zatem L=P,więc tożsamość udowodniona.