Ciągi Cauchy'ego

[małgosia]

Hej:)

Czy potrafi ktoś wykazać, że wszystkie ciągi Cauchy'ego w przestrzeni \(\displaystyle{ \left( \mathbb{R},|| \cdot ||\right)}\), gdzie normą jest wartość bezwzględna, są zbieżne?

[Ein]

Musisz pokazać, że każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę rzeczywistą. Weźmy dowolny ciąg Cauchy'ego \(\displaystyle{ (a_n)\subset\mathbb{R}}\). Połóżmy zbiór: \(\displaystyle{ A:=\{x\in\mathbb{R}:\ x\le a_n\ \textrm{dla nieskończenie wielu n}\}}\). Następnie pokaż, że \(\displaystyle{ \lim a_n=\sup A}\) (trzeba skorzystać z aksjomatu ciągłości mówiącego, że każdy zbiór ograniczony z góry ma kres górny oraz z tego, że ciąg Cauchy'ego jest ograniczony).