znajdź granicę

[Wujcio]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{1 + \sqrt[n]{n} }{2} \right) ^{ \frac{n}{lnn} }}\)

[ares41]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1 + \sqrt[n]{n} }{2} \right)=1+ \frac{ \sqrt[n]{n}-1 }{2} \rightarrow 1\\ \frac{n}{\ln{n}} \rightarrow \infty}\)

[xanowron]

Od razu powiem, że granicą nie jest 1, to jest trochę sprytniejsze.

[ares41]

W takim razie co jest tą granicą?
Czyżby \(\displaystyle{ \sqrt{e}}\)?

[alfgordon]

zapewne trzeba to doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ (1 + \frac{a}{b} )^ \frac{b}{a}}\)


i mi wychodzi granica: 'e'


ps tak zapomniałem o dwójce..

powinno wyjść:

\(\displaystyle{ (1+ \frac{\sqrt[n]{n} -1}{2} )^{ \frac{2}{\sqrt[n]{n} -1} \cdot \frac{n \cdot \sqrt[n]{n} -1 }{lnn \cdot 2}} \rightarrow e^{ \frac{1}{2} }}\)

[Dasio11]

ares41, owszem. Rachunki poproszę!

[wally]

oczywiście można skorzystać z
\(\displaystyle{ \lim_{x->0} \frac{ln(1+x)}{x}=1}\)
oraz \(\displaystyle{ lim_{n->\infty} \sqrt[n]{n} =1}\).
No to tyle z mojej strony Powodzenia na kolosie z analizy!