Liczby niewymierne

[Revelator]

Witam.

ehh jestem w 1 klasie LO na mat fizie i juz problemy z "ponoc" banalnymi zadaniami. Otóż moj problem wyglada nastepujaco: Mam udowodnic czy dana liczba jest niewymierna.. na lekcji nauczycielka pokazwyala nam przyklady typu pierwiastek \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Liczba niewymierna jest wtedy kiedy mozna ja napisac jako iloraz m przez n, przy czym m i n sa liczbami calkowitymi...np.

teza: \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\)

dowod: i tu sie zaczyna problem..dochodze do "rozkladu"\(\displaystyle{ 2n^{2}}\) = \(\displaystyle{ m^{2}}\)


pozdrawiam, Rev.

[amator]

jeśli chcesz udowodnić że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest niewymierna, musisz pokazać że nie ma takiej liczby wymiernej \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\), której kwadrat byłby równy 2.

Te m i n sa liczbami naturalnymi.

Najlepiej dowieść nie wprost. Tzn. zakładasz najpierw że takie m i n istnieją, prowadzisz rozumowanie aż dojdziesz do punktu gdzie pojawia się sprzeczność. Skoro istnieje sprzeczność więc to co założyłeś na początku nie jest prawdą !

Więc spróbujmy :
\(\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{m}{n}}\)
\(\displaystyle{ 2=(\frac{m}{n})^{2}}\)

Zakładasz że ułamek \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\) jest nieskracalny.

\(\displaystyle{ m^{2}=2n^{2}}\) więc m jest liczbą parzystą : m=2x. Zatem q jest liczbą nieparzystą ( bo przecież założyłeś że nie mają wspólnych dzielników). Zastąpmy m przez 2x.
\(\displaystyle{ 2x^{2}=n^{2}}\) . Stąd wynika, że n jest parzystą liczbą i tu doszliśmy do sprzeczności.


\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) istotnie jest niewymierną liczbą

[Revelator]

Wielkie dzieki nareszcie ktos wyjasnij mi to w sposob dosyc zrozumialy jeszcze raz wielkie dzieki

teraz juz potrafie takie przyklady robic wlasnie w stylu \(\displaystyle{ \sqrt{2}, \sqrt{3}}\) a moglbys jeszcze opisac mi to, co mialem na zadanie ? mianowicie: \(\displaystyle{ 4 - \frac{\sqrt{11}}{3}}\) mam udowodnic czy to jest liczba nie wymierna czy wymierna. z gory dzieki.

pozdrawiam, Rev.

PS; przepraszam ale nie zauwazylem Twojej prosby, juz zmienilem. czy moge prosic o przywrocenie tematu ?

[amator]

z tym rozkładem na czynniki może zadziałać też.
masz równość \(\displaystyle{ 2m^{2}=n^{2}}\)
liczba po lewej stronie nierówności ma czynniki 2,m,m a po prawej n oraz n.
m i n nie mają wspólnych dzielników bo tak założyłeś sobie na początku (że ułamek m/n jest nieskaraclny). Równość nie może zachodzić bo liczba po lewej stronie jest parzysta a po prawej nieparzysta.

Twój drugi przykład:
W zasadzie trzeba pamiętać tylko że liczbę wymierną da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego a niewymierną już nie (pomijamy jedynkę w mianowniku). 4 ani 3 w mianowniku nam w niczym nie przeszkadza. Interesuje Cię tylko ten \(\displaystyle{ \sqrt{11}}\) bo odejmowanie ułamków wymiernych nic nam w wymierności nie zmienia, ale problem pojawia się dopiero gdy chcemy dodać do siebie wymierny z niewymiernym .

postępujesz podobnie jak z przykładem z 2.
\(\displaystyle{ n^{2}=13n^{2}}\)

czynnikami liczby po lewej stronie są m, m a po prawej 13, n, n . m i n nie mają wspólnych dzielników a po prawej stronie masz 13. Po lewej w rozkładzie nie ma 13 i nie może jej być bo wtedy ułamek dałby się skrócić.

Jeśli w szkole rozwiązywaliście ten przykład innym sposobem, to zamieść go tutaj proszę.
pozdrawiam,

[Revelator]

wszystko sie zgadza.. ale z skad wziąleś ta 13 ? nie powinna byc 11 ? przepraszam jesli sie myle.

PS: co do innego sposobu to unas wygladalo to tak ze babka tylko powiedziala ze suma albo roznica liczby niewymiernej i wymiernaj jest liczba nie wymierna. takze widocznie mielismy sie domyslec..

[amator]

jasne, że 11

pozdrawiam,
amator

[Revelator]

ok jeszcze raz dzieki za "użeranie" sie przy mnie pozdrawiam, Rev.