Gęstość rozkładu a dystrybuanta i prawd. wartości

[Fotoraj]

Witam
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań lub chociaż o podpowiedzi jak je rozwiązać.

Zadanie 1:

Zmienna losowa X podlega rozkładowi wg Gęstości danej wzorem:
\(\displaystyle{ f(x) \left\{\begin{array}{l} 0 \qquad\qquad \hbox{ dla } x <0 \\Asin(x) \quad \hbox{ dla } 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3} \\0 \qquad\qquad \hbox{ dla } x>\frac{\pi}{3} \end{array}}\)
a) obliczyć stałą A
b) podać dystrybuantę
c) obliczyć \(\displaystyle{ P(\frac{\pi}{6} \leqslant X \leqslant \frac{\pi}{4})}\)

Zadanie 2:

Zmienna losowa X podlega rozkładowi wg trójkąta utworzonego przez oś OX, oś OY i prostą y+x=a. Dobrać a, podać gęstość, dystrybuantę oraz obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości z przedziału \(\displaystyle{ [0,\frac{a}{2}]}\).

Zadanie 3:

Obliczyć wartość średnią i wariancję dla zm. Losowych o rozkładach:
a) Bernoulliego
b) Poissone'a
c) wykładniczym
d) jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ [a, 2a]}\).

Zadanie 4:

Rzucamy 10000 razy monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych orłów zawiera się od 5050 do 5100.

Zadanie 5:

Zmienna losowa X rna rozkład Poissona \(\displaystyle{ (\lambda = 2)}\). Obliczyć:
a) \(\displaystyle{ P(X<3)}\)
b) \(\displaystyle{ P(X>5)}\)
c) \(\displaystyle{ P(1 \leqslant X \leqslant 4)}\)

Zadanie 6:

Zmienna losowa podlega rozkładowi normalnemu \(\displaystyle{ N(2,4)}\). Obliczyć:
a) \(\displaystyle{ P(|X|<2)}\)
b) \(\displaystyle{ P(|X|>6)}\)

Zadanie 7:

Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu \(\displaystyle{ N(1, 2)}\).
Wyznaczyć stałą a tak, aby \(\displaystyle{ P(|X-1|<a) \qquad 0.95}\)

Zadanie 8:

Aparatura składa się z 1000 elementów pracujących niezależnie. Prawdopodobieństwo awarii dowolnego elementu w czasie T wynosi 0.002. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w czasie T:
a) Nie nastąpi awaria żadnego elementu,
b) Wystąpi awaria dokładnie 3 elementów,
c) Wystąpi awaria co najmniej dwóch elementów
Podać dokładny i przybliżony rozkład zmiennej losowej X.

Zadanie 9:

Student chce kupić książkę za 50 zł. W kieszeni ma 5 banknotów po 10 zł i jeden banknot 100 zł. Sprzedawca proponuje, aby zamiast płacić 50 zł, kupujący dał banknot wybrany losowo.
a) czy propozycja jest korzystna dla kupującego, czy dla sprzedającego ?
b) czy propozycja, żeby zamiast płacić 50 zł, dać sprzedawcy 2 banknoty losowo jest sprawiedliwa?

Z góry dziękuję za pomoc.

[Inkwizytor]

1)
a)
Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{3} } Asin(x) dx =1}\)
b)
Wzór na dystrybuantę znasz?
c) jak zrobisz b) to c) masz w zasadzie zrobione bo podstawiasz do wzoru

[Fotoraj]

Wielkie dzięki za pomoc.