mam problem z udowodnieniem takiego wzoru: \(\displaystyle{ arctgx=arcsin( \frac{2x}{1-x^2} ) , x \in (-1,1)}\)
podejrzewam że to trzeba zrobić ze wzoru Taylora, ale to sa tylko podejrzenia ;p
pomógłby ktos ?
a przypuśćmy że równość jest prawdziwa (cos tam zmienimy i bedzie ok) .. wtedy nie trzeba obliczyc i porównać jeszcze reszt ze wzoru taylora dla poszczególnych arcusów ?? czy pochodna wystaczy ???
z góry dzieki za odp
Wystarczy pochodna, weź sobie np. taką równość (tym razem na pewno prawdziwą) \(\displaystyle{ \arctan x=\arccot \frac{1}{x}}\)
która jest równoważna takiej: \(\displaystyle{ \arctan x-\arccot \frac{1}{x}=0}\)
no to teraz jak sobie weźmiemy funkcję \(\displaystyle{ h(x)=\arctan x-\arccot \frac{1}{x}}\)
to nasze zadanie będzie polegało na pokazaniu, że \(\displaystyle{ h(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny. W tym celu liczymy pochodną \(\displaystyle{ h'(x)}\), coś zauważamy i wyciągamy z tego wnioski.