Działania na zbiorach

[damian8m]

Proszę o pomoc,
sprawdzić równość (przechodząc od lewej strony do prawej)
1. \(\displaystyle{ A\times B \cup A\times C =A\times (B \cup C)}\)
2 \(\displaystyle{ (A\times B) \cup C =? (A \cup B)\times (B \cup C)}\)

Nie wiem jak się za takie zadania nawet zabierać... są z ćwiczeń z matematyki dyskretnej, której całkowicie nie pojmuję :/

[Jan Kraszewski]

Iloczyn kartezjański to " imes": \(\displaystyle{ \times}\).

Ad 1.
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (x,y)}\). Mamy

\(\displaystyle{ (x,y)\in (A\times B)\cup (A\times C) \Leftrightarrow (x,y)\in A\times B\lor (x,y)\in A\times C \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x\in A\land y\in B)\lor (x\in A\land y\in C) \Leftrightarrow \mbox{rozdzielność koniunkcji względem alternatywy} \Leftrightarrow x\in A\land ( y\in B\lor y\in C) \Leftrightarrow
x\in A\land y\in B\cup C \Leftrightarrow (x,y)\in A\times(B\cup C)}\)

Z zasady ekstensjonalności wynika zatem, że \(\displaystyle{ (A\times B)\cup (A\times C)=A\times(B\cup C)}\).

Ad 2.
To nie zawsze zachodzi, poszukaj kontrprzykładu.

JK

[damian8m]

a jak sprawdzić że nie zachodzi?

\(\displaystyle{ (A\times B) \cup C =? (A \cup B)\times (B \cup C) \Leftrightarrow (x,y) \in A \times B \vee (x,y) \in C \Leftrightarrow (x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in C}\)

jak to dalej przekształcić?-- 24 listopada 2010, 18:56 --i mam jeszcze pytanie jak np. udowadnia się takie coś:

\(\displaystyle{ A \cap B = B \cap A}\) i tym podobnych jest sporo w zbiorze...
trzeba wybrać jakieś liczby> np \(\displaystyle{ x \in A \wedge y \in B}\) czy jak?

[Jan Kraszewski]

a jak sprawdzić że nie zachodzi?

\(\displaystyle{ (A\times B) \cup C =? (A \cup B)\times (B \cup C) \Leftrightarrow (x,y) \in A \times B \vee (x,y) \in C \Leftrightarrow (x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in C \wedge y \in C}\)

jak to dalej przekształcić?

Nie, nie, nie. Napisałem przecież

To nie zawsze zachodzi, poszukaj kontrprzykładu.

Masz pokazać, iż nie jest prawdą, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A, B, C}\) zachodzi wspomniana równość, czyli, równoważnie, pokazać, że istnieją zbiory \(\displaystyle{ A, B, C,}\) dla których ta równość nie zachodzi. Pomyśl zatem nad konkretnymi zbiorami, dla których ta równość nie zachodzi. Rozumowania ogólne, takie jak Twoje, nie są w tym przypadku żadnym argumentem.

i mam jeszcze pytanie jak np. udowadnia się takie coś:

\(\displaystyle{ A \cap B = B \cap A}\) i tym podobnych

Akurat w tego typu przykładach uzasadniasz równość pokazując, że \(\displaystyle{ x\in A \cap B \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x\in B \cap A}\) (po drodze korzystając z praw logicznych i definicji operacji na zbiorach).

JK