mam problem z udowodnieniem takiego wzoru:
\(\displaystyle{ arctgx=arcsin( \frac{2x}{1-x^2} ) , x \in (-1,1)}\)
podejrzewam że to trzeba zrobić ze wzoru Taylora, ale to sa tylko podejrzenia ;p
pomógłby ktos ?
udowodnij wzór... Taylor ?
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7153
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1324 razy
udowodnij wzór... Taylor ?
Rozważ funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arctan x-\arcsin \frac{2x}{1-x^2}}\) i sprawdź jaka jest jej pochodna.
Chwila, czy te funkcje na pewno takie powinny być?
Chwila, czy te funkcje na pewno takie powinny być?
-
- Użytkownik
- Posty: 50
- Rejestracja: 29 kwie 2008, o 08:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 4 razy
udowodnij wzór... Taylor ?
niby dobrze.... tak jest w zbiorku...
no dobra ale co mi da wyznaczenie pochodnej tej różnicy ?? co ona bedzie oznaczać w tym przypadku ?
no dobra ale co mi da wyznaczenie pochodnej tej różnicy ?? co ona bedzie oznaczać w tym przypadku ?
-
- Użytkownik
- Posty: 50
- Rejestracja: 29 kwie 2008, o 08:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 4 razy
udowodnij wzór... Taylor ?
a przypuśćmy że równość jest prawdziwa (cos tam zmienimy i bedzie ok) .. wtedy nie trzeba obliczyc i porównać jeszcze reszt ze wzoru taylora dla poszczególnych arcusów ?? czy pochodna wystaczy ???
z góry dzieki za odp
z góry dzieki za odp
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7153
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1324 razy
udowodnij wzór... Taylor ?
Wystarczy pochodna, weź sobie np. taką równość (tym razem na pewno prawdziwą)
\(\displaystyle{ \arctan x=\arccot \frac{1}{x}}\)
która jest równoważna takiej:
\(\displaystyle{ \arctan x-\arccot \frac{1}{x}=0}\)
no to teraz jak sobie weźmiemy funkcję \(\displaystyle{ h(x)=\arctan x-\arccot \frac{1}{x}}\)
to nasze zadanie będzie polegało na pokazaniu, że \(\displaystyle{ h(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny. W tym celu liczymy pochodną \(\displaystyle{ h'(x)}\), coś zauważamy i wyciągamy z tego wnioski.
\(\displaystyle{ \arctan x=\arccot \frac{1}{x}}\)
która jest równoważna takiej:
\(\displaystyle{ \arctan x-\arccot \frac{1}{x}=0}\)
no to teraz jak sobie weźmiemy funkcję \(\displaystyle{ h(x)=\arctan x-\arccot \frac{1}{x}}\)
to nasze zadanie będzie polegało na pokazaniu, że \(\displaystyle{ h(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny. W tym celu liczymy pochodną \(\displaystyle{ h'(x)}\), coś zauważamy i wyciągamy z tego wnioski.