wyznaczanie dziedziny funkcji i nierówności

[bajtek]

Witam, próbuję wyznaczać dziedzinę dla danej funkcji, ale mam z tym niejakie problemy...

Mówiąc prosto, czy może mi ktoś objaśnić w banalny sposób algorytm na obliczanie dziedzin funkcji? Jak się toto liczy? Widziałem przykłady w internecie, ale z tamtejszych wyjaśnień nic specjalnie nie zrozumiałem. Czy jeśli wyrażenie ma postać x/y liczy się to z licznika czy z mianownika ułamka?

Pierwszy przykład próbowałem sam zrobić, bazowałem na jakiejś stronie. Wyszło mi coś takiego:
1)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x-4}{4-x^{2} } \newline

4- x^{2} =0 \newline
\left( x-2\right) \left( x+2\right)=0\newline
D=R-\left\{ -2,2\right\}}\)

Czy to tak ma wyglądać? Moze ktoś krok po kroku wykonać te poniższe przykłady?

2)
\(\displaystyle{ f(x)= 5+ \frac{2}{x} + \frac{x}{ x^{4} + 2 }}\)

3)
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{3-2x- x^{2} }}\)


I mam też drugie pytanie. Odświeżyłem pamięć odnośnie rozwiązywania nierównań, ale zagubiłem się przy tych w postaci ułamkowej. Jak przy nich postępować? Rozumiem że powinienem przenieść wszystko

na jedną stronę nierówności, ale co dalej? Pozbyć się ułamków mnożąć przez mianownik?


1)
\(\displaystyle{ \frac{3}{x} \ge 1}\)

pomnożyć przez x?

2)
\(\displaystyle{ \frac{3x+1}{x-1} <1}\)

a tutaj przez x-1 ?

I dalej rozwiązywać je jak zawsze?

[jakozo]

\(\displaystyle{ \frac{3}{x} \ge 1}\)

nie mozesz podzielic przez x bo nie wiesz jaki ma znak musisz podnies obu stronie do kwadratu.
a w drugim tam tez musisz obustronnie do kwadratu zeby znak zostal nie zmienny

W 1 przykladzie zrobiles dobrze
w drugim przykladzie do wspolnego mianownika i to samo zrob co w pierwszym

a 3 przykaldzie kazda liczba pod pierwiastkiem musi byc\(\displaystyle{ \ge 0}\) wiec to co jest pod pierwiastkiem tam tez musi byc takie

[danmart]

Dziedzina jest to zbiór tych x-ów dla których dane wyrażenie ma sens liczbowy
Jeżeli mamy ułamek to wiadomo, że mianownik nie może być zerem (bo nie ma dzielenia przez zero)
czyli tak jak u ciebie w zadaniu 1):

\(\displaystyle{ 4-x^{2} \neq 0\\(2-x)(2+x) \neq 0\\x \neq 2 \ oraz \ x \neq -2\\D=R \setminus\left\{ 2,-2\right\}}\)

2)
Wyrażenie \(\displaystyle{ (x^{4}+2)}\) nigdy zerem nie będzie
pozostaje tylko \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ D=R \setminus \left\{ 0\right\}}\)
3)
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{3-2x- x^{2} }\\3-2x- x^{2} \ge 0\\\Delta=16\\X_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}\\x_{1}=-3\\x_{2}=1\\D=<-3;1>}\) ponieważ nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczb ujemnych-- 23 lis 2010, o 22:45 --\(\displaystyle{ \frac{3}{x} \ge 1 \ \rightarrow D=R \setminus \left\{ 0\right\} \\\\ \frac{3}{x}-1 \ge 0\\\\ \frac{3}{x}- \frac{x}{x} \ge 0\\\\ \frac{3-x}{x} \ge 0/ \cdot x^{2}\\\\x(3-x) \ge 0\\\\x \in (0;3>}\)

[bajtek]

No dobra, zacznijmy może od tych nierówności. Przejrzałem ten przykład ktory przerobiłeś i wnioskuję, że myślałem przy tym w miarę poprawnie; trzeba poprzenosić wszystko na jedna stronę nierówności i doprowadzić wielomian do postaci na której będę mógł już operować.

Tylko jedno pytanie odnośnie tego przykładu:
\(\displaystyle{ \frac{3}{x} \ge 1}\)

dlaczego wynik u ciebie to
\(\displaystyle{ x \in (0;3>}\), a nie \(\displaystyle{ x \in <0;3>}\) ?

Zrobiłem też drugi z przykładów:
\(\displaystyle{ \frac{3x+1}{x-1} <1}\)

\(\displaystyle{ \frac{3x+1}{x-1} -1<0}\) przenoszę 1 na druga stronę
\(\displaystyle{ 3x+1 -1*(x-1)<0}\) mnożę przez \(\displaystyle{ x-1}\)
\(\displaystyle{ 3x+1 -x+1<0}\) porządkuję wyrazy
\(\displaystyle{ 2x+2<0}\)
\(\displaystyle{ 2x+2<0}\) mnożę przez x i dzielę przez 2
\(\displaystyle{ x^{2}+x<0}\)
\(\displaystyle{ x(x+1)<0}\) wyciagam x przed nawias
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=-1}\) co daje mi: \(\displaystyle{ x \in (-1;0)}\)

Zrobiłem to prawidłowo?


A jeżeli chodzi o dziedzinę funkcji, to aby ją wyznaczyć, wylicza się po prostu miejsca zerowe? W przypadku jeśli mam ułamek liczę je z mianownika?

[jakozo]

po pierwsze nie jest to funk kwadratowa tylko wymierna tak a propos
"dlaczego wynik u ciebie to"
\(\displaystyle{ x \in (0;3>}\), a nie \(\displaystyle{ x \in <0;3>}\) ?
iz poniewaz zera nie ma tym przedziale bo x musi byc rozny od zera

drugie masz zle:P
tam zastosowales chyba jakies swoje prawa:P.

na poczatku zawsze wyznaczasz dziedzine.
czyli to co w mianowniku ma byc rozne od zara i odejmujesz to od rzeczywsitych

pozniej musisz sprowadzic do wspolnego mianownika. po drugie nie mozesz w nierownosci tak po prostu sobie mnozyc przez x. bo nie wiesz jaki ma znak + czy - . musisz przez kwadrat tego wyrazenia.

[bajtek]

Ueee... to jak to zrobić : / ?

[jakozo]

ma wyjsc tyle\(\displaystyle{ x \in (-1,0)}\)

jak ci tyle wyjdzie to znaczy ze umiesz

niby tam dobrze masz odp ale zle masz to zapisane;p.albo nie znam twojej metody;p

[bajtek]

Pomyślałem prawie identyczny przykład:

\(\displaystyle{ \frac{4x+3}{2x-1} <1}\)

Wyszło mi \(\displaystyle{ x \in (-2,0)}\)

dobry wynik?

[jakozo]

a nie ze \(\displaystyle{ x \in R \setminus \frac{1}{2} \cup \left( -2;- \frac{1}{3} \right)}\) ?
ile ci delta wyszla?

[bajtek]

Cholera, czyli znów źle

Mogłbyś pokazać, jak ty to liczyłeś? Tę nierówność? Bo chyba sam nigdy tego nie rozwiążę...

[jakozo]

\(\displaystyle{ \frac{ (4x+3)^{2} }{ (2x-1)^{2} } <1 ^{2}}\)


\(\displaystyle{ \frac{16x^{2}+24x+9}{4x^{2}-4x+1 }<1}\)

\(\displaystyle{ 16x^{2}+24x+9<4x^{2}-4x+1}\)
\(\displaystyle{ 12x^{2}+28x+8<0}\)
delta=400
pierwiastek delta=20

\(\displaystyle{ x1=-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ x2=-2}\)

i rysujesz parabole i takie tam. I odejmujesz ten przedzial od dziedziny.

Jak ktos widzi blad to niech poprawi

[akw]

Nie trzeba podnosić do kwadratu. Komplikuje to obliczenia. Piszę od początku bo nie przeczytałem całej korespondencji waszej ale widzę że nadal jest problem. Mając równość ustalając dziedzinę jedyne co chcesz zrobić to zastrzec by odpowiednie wyrażenia przyjmowały określone wartości. Np.: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=0 \wedge b \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a} \wedge a \ge 0}\)

Przy nierównościach zwracasz uwagę na to samo co w równościach + mały dodatek. Pamiętaj że w nierówności nie możesz mnożyć przez mianownik z niewiadomą bo nie znasz jej znaku. Mając wyrażenie: \(\displaystyle{ \frac{a}{b} \ge 1}\) możesz postąpić tak:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{a}{b}-1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{a-b}{b} \ge 0}\)
a to sprowadza się do nierówności
\(\displaystyle{ (a-b)b \ge 0}\)
a to juz prosta nierówność wielomianowa.