zastosowanie tw. cauchy'ego do liczenia całek rzeczywistych

[kemot25]

jak policzyć
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}({\sin x\over x})^2 dx}\)

rozważ funkcje \(\displaystyle{ {1-e^{2iz}\over z^2}}\)

[luka52]

Nie da rady.

Chcesz obliczyć podaną całkę, czy całkę która korzysta z zaproponowanej funkcji?

[kemot25]

chcę policzyć te całkę, ta funkcja jest pomocna do jej rozwiązania

zadanie z

na samym dole

[luka52]

To popatrz jeszcze raz na całkę, która jest na tej stronie i na to co zapisałeś...

[kemot25]

no ok, chodzi mi ogólnie o to jak zastosować twierdzenie o residuach do liczenia całek typu funkcja charakterystyczna gdzie gęstością jest 2 moment rozkładu normalnego standardowego korzystając z twierdzenia cauchy'ego.

Czyli jak policzyć
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}{1\over \sqrt{2\pi}}x^2 e^{itx}e^{-x^2\over 2}}\)
Wiem że do tego korzysta się z twierdzenia cauchy'ego. W górnej półpłaszczyźnie ta funkcja nie ma punktów osobliwych, wogóle ich nie ma.

[luka52]

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}{1\over \sqrt{2\pi}}x^2 e^{itx}e^{-x^2\over 2}}\)

Funkcja podcałkowa może być zapisana jako \(\displaystyle{ x^2 e^{- \frac{1}{2} (x-ia)^2}, \; a \in \mathbb{R}}\) razy jeszcze jakaś stała, która nie jest zbyt istotna w obliczeniach.

Możesz rozpatrzeć całkę \(\displaystyle{ \int_{\Gamma} z^2 e^{- \frac{1}{2} (z-ia)^2} \; \mbox d z}\) gdzie konturem całkowania jest prostokąt o wierzchołkach (-R,0), (R,0), (R,a), (-R,a). Jednak suma sumarum i tak przy liczeniu korzysta się z wyniku dla \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+ \infty} x^2 e^{-x^2 /2} \; dx}\), więc nie wiem czy Cię takie rozwiązanie usatysfakcjonuje.

[kemot25]

Jednak suma sumarum i tak przy liczeniu korzysta się z wyniku dla \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+ \infty} x^2 e^{-x^2 /2} \; dx}\), więc nie wiem czy Cię takie rozwiązanie usatysfakcjonuje.

ok to jak teraz policzyć tą całkę z cytatu wykorzystując tw. cauchy'ego?
Całkę w zadaniu można policzyć tak chyba?

\(\displaystyle{ e^{{t^2\over 2}}\int_{\mathbb{R}}{1\over \sqrt{2\pi}}z^2 e^{itz } e^{-{z^2\over 2}}dz =\int_{\mathbb{R}}{1\over \sqrt{2\pi}}z^2 e^{{-1\over 2} (z-it)^2}=1-t^2}\)

bo naciągając def. r normalnego (średnia powinna być rzeczywista) mamy drugi moment N(it,1) a to się równa \(\displaystyle{ 1=EX^2-(it)^2}\) czyli \(\displaystyle{ EX^2=1-t^2}\) czyli całka którą chcemy policzyć
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}{1\over \sqrt{2\pi}}z^2 e^{itz } e^{-{z^2\over 2}}dz=(1-t^2)e^{-{t^2\over 2}}}\)

ale nigdzie nie korzystaliśmy z cauchy'ego tylko z informacji o rozkładzie, jak to wy całkować elementarnie?

[luka52]

Całkę Gaussa i jej pochodne z reguły liczy się bez użycia analizy zespolonej. W pierwszym lepszym podręczniku do analizy powinno się znaleźć jej wyprowadzenie.

[kemot25]

ok dziękuje
całkę gaussa liczy się tak jak w tym poście ?
https://matematyka.pl/213550.htm

To jeszcze ostatnie pytanie jak korzystając z twierdzenia cauchy'ego policzyć całkę
w pierwszym poście? Chciałbym zobaczyć jak wykorzystać to twierdzenia do takich funkcji.
Rozważana funkcja niewiele mi daje. Po podniesieniu do kwadratu sinusa w postaci zespolonej dostaje co innego poza tym. Do liczenia takich całek powinno się używać punktów osobliwych z górnej półpłaszczyzny.

A propos ta całka w pierwszym poście bez kwadratu jest równa \(\displaystyle{ {1\over 2}}\)

(patrz warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki)

[luka52]

Funkcja dana wzorem \(\displaystyle{ {1-e^{2iz}\over z^2}}\) ma w pkt. 0 biegun I rzędu. Kontur dobieramy tak by omijał ten punkt, np.: odcinki na prostej rzeczywistej \(\displaystyle{ [-R,r] \cup [r,R]}\), górny półokrąg o promieniu r i środku w 0, górny półokrąg o promieniu R i środku w 0, całość zorientowana dodatnio. Mamy kontur zamknięty, wewnątrz którego nie znajdują się żadne punkty osobliwe, zatem suma poszczególnych całek daje 0. Teraz należy sparametryzować całkę dla każdej części konturu.