Równanie różniczkowe

[silk]

wyznacz rozwiazanie ogolne rownania rozniczkowego


1. y'''+y'=0

2. y'''-y''+y'-y=x

i jeszcze to...

3. y'''+y''+y'=0

Bardzo prosze o pomoc!!

_____
Nie pisz tematów dużymi literami!
[bolo]

[idie]

w pierwszym rownaniu podstawiasz pod \(\displaystyle{ y= e^\alpha x}\)

y`=alfa e do alfa x
y```= alfa^3 e do alfa x

\(\displaystyle{ y^{`}=\alpha e^\alpha x}\)
\(\displaystyle{ y^{```}=\alpha^3 e^\alpha x}\)

\(\displaystyle{ \alpha e^\alpha x + ^3 e^\alpha x =0}\)

wyliczasz nastepnie \(\displaystyle{ \alpha}\) ktora wychodzi i lub -i

\(\displaystyle{ y=c_1 cos x + c_2 sin x}\)

Chyba to powinno byc tak. Jak zawsze nie daje sobie uciac glowy za zadanie. Dobrze by bylo jakby ktos potwierdzil.
Pozdrawiam

[boo007]

podstaw \(\displaystyle{ y=e^{\alpha x}}\) nie \(\displaystyle{ y=e^{\alpha }x}\)

[sushi]

rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

\(\displaystyle{ \lambda ^3 - \lambda ^2 + \lambda - 1=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda ^2 ( \lambda -1) + (\lambda - 1)=0}\)

\(\displaystyle{ ( \lambda ^2 +1 )( \lambda -1) =0}\)

\(\displaystyle{ \lambda _1 = -i}\) , \(\displaystyle{ \lambda_2 =i}\) , \(\displaystyle{ \lambda_3=1}\)


\(\displaystyle{ y= y_1 + y_2}\)

mamy dwa pierwiastki zespolone wieć rozwiażanie
\(\displaystyle{ y_1=c_1 \cos x + c_2 \sin x + c_3 e^x}\)
\(\displaystyle{ y_2= (ax+b)}\)

i teraz liczymy pochodne : 1-wszą , 2-gą i 3-cią
podstawiamy do wzoru i szukamy c1, c2, c3, a oraz b


\(\displaystyle{ y= c_1 \cos x+ c_2 \sin x + c_3 e^x +(ax+b)}\)
\(\displaystyle{ y^{'}= - c_1 \sin x+ c_2 \cos x + c_3 e^x + a}\)
\(\displaystyle{ y^{"}= - c_1 \cos x - c_2 \sin x + c_3 e^x}\)
\(\displaystyle{ y^{'''}= c_1 \sin x - c_2 \cos x + c_3 e^x}\)

\(\displaystyle{ ( c_1 \sin x - c_2 \cos x + c_3 e^x ) - ( - c_1 \cos x - c_2 \sin x + c_3 e^x) + (- c_1 \sin x+ c_2 \cos x + c_3 e^x + a) -(c_1 \cos x+ c_2 \sin x + c_3 e^x +(ax+b)) ===x}\)

[ Dodano: 10 Wrzesień 2006, 20:24 ]
\(\displaystyle{ ( c_1 \sin x - c_2 \cos x + c_3 e^x ) + c_1 \cos x + c_2 \sin x - c_3 e^x) + (- c_1 \sin x+ c_2 \cos x + c_3 e^x + a) - c_1 \cos x - c_2 \sin x - c_3 e^x - ax -b ===x}\)
jak dobrze skróciłem to powinno wyjść :
\(\displaystyle{ a - ax - b ====x}\)

porównujemy wielomiany

a-b===0
-a===1

co daje
a=-1
b=-1


wychodzi
y= -x - 1

i koniec zadania

[ Dodano: 10 Wrzesień 2006, 20:56 ]
1)
\(\displaystyle{ \lambda^3 + \lambda =0}\)
\(\displaystyle{ \lambda ( \lambda^2 + 1) =0}\)
\(\displaystyle{ \lambda_1 =0}\) , \(\displaystyle{ \lambda_2 =-i}\), \(\displaystyle{ \lambda_3 =i}\)

\(\displaystyle{ y= c_1 \cos x + c_2 \sin x + c_3 e^{0 x}}\)
\(\displaystyle{ y= c_1 \cos x + c_2 \sin x + c_3}\)

\(\displaystyle{ y ^{'}= - c_1 \sin x + c_2 \cos x}\)
\(\displaystyle{ y^{''}= - c_1 \cos x - c_2 \sin x}\)
\(\displaystyle{ y^{'''}= c_1 \sin x - c_2 \cos x}\)

\(\displaystyle{ c_1 \sin x - c_2 \cos x + ( - c_1 \sin x + c_2 \cos x )====0}\)

\(\displaystyle{ 0===0}\)


więc wychodzi, że {obojetnie co podstawisz za współczynniki to i tak wyjdzie 0}

\(\displaystyle{ y= c_1 \cos x + c_2 \sin x + c_3}\)

[boo007]

To

\(\displaystyle{ y ^{'}= - c_1 \sin x + c_2 \cos x}\)
\(\displaystyle{ y^{''}= - c_1 \cos x - c_2 \sin x}\)
\(\displaystyle{ y^{'''}= c_1 \sin x - c_2 \cos x}\)

\(\displaystyle{ c_1 \sin x - c_2 \cos x + ( - c_1 \sin x + c_2 \cos x )====0}\)

\(\displaystyle{ 0===0}\)


więc wychodzi, że {obojetnie co podstawisz za współczynniki to i tak wyjdzie 0}

i to

i teraz liczymy pochodne : 1-wszą , 2-gą i 3-cią
podstawiamy do wzoru i szukamy c1, c2, c3, a oraz b


\(\displaystyle{ y= c_1 \cos x+ c_2 \sin x + c_3 e^x +(ax+b)}\)
\(\displaystyle{ y^{'}= - c_1 \sin x+ c_2 \cos x + c_3 e^x + a}\)
\(\displaystyle{ y^{"}= - c_1 \cos x - c_2 \sin x + c_3 e^x}\)
\(\displaystyle{ y^{'''}= c_1 \sin x - c_2 \cos x + c_3 e^x}\)

\(\displaystyle{ ( c_1 \sin x - c_2 \cos x + c_3 e^x ) - ( - c_1 \cos x - c_2 \sin x + c_3 e^x) + (- c_1 \sin x+ c_2 \cos x + c_3 e^x + a) -(c_1 \cos x+ c_2 \sin x + c_3 e^x +(ax+b)) ===x}\)

[ Dodano: 10 Wrzesień 2006, 20:24 ]
\(\displaystyle{ ( c_1 \sin x - c_2 \cos x + c_3 e^x ) + c_1 \cos x + c_2 \sin x - c_3 e^x) + (- c_1 \sin x+ c_2 \cos x + c_3 e^x + a) - c_1 \cos x - c_2 \sin x - c_3 e^x - ax -b ===x}\)
jak dobrze skróciłem to powinno wyjść :
\(\displaystyle{ a - ax - b ====x}\)

porównujemy wielomiany

a-b===0
-a===1

co daje
a=-1
b=-1


wychodzi
y= -x - 1

jest zbędne (sprawdzasz po prostu co wyliczyłeś, dlatego w 1 wychodzi 0).
stałe c1, c2... wyznacza się z warunków początkowych (np y'(0)=3)
Przypominam, że rozwiązanie równania różniczkowego jest sumą rozwiązania jednorodnego i niejednorodnego. y= -x - 1 nie jest rozwiązaniem, w praktyce musisz wyznaczyć wszystkie możliwe rozwiąznia, w 2 rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ y= c_1 \cos x+ c_2 \sin x + c_3 e^x -x+1}\)