Reguła de l'hospitala 2 proste granice funkcji

darphus · Post autor: **darphus** » 21 lis 2010, o 13:01

Może mi ktoś obliczyć 2 proste granice funkcji przy użyciu reguły l'hospitala?? Niestety nie mam pojęcia w ogole jak to, a pilnie potrzebuję.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{x-sinx}{x ^{3} }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 }( \frac{1}{lnx}- \frac{x}{lnx})}\)

Mortify · Post autor: **Mortify** » 21 lis 2010, o 13:10

Jeśli mamy w granicy symbol nieoznaczony:

\(\displaystyle{ [\frac{0}{0}]}\) lub \(\displaystyle{ [\frac{\infty}{\infty}]}\), to możemy użyć reguły de l'Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in R \cup \{-\infty, \infty \}}\)

czyli u nas np:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{x-sinx}{x^3} = [ \frac{0}{0}] = \lim_{ x\to 0} \frac{1-cosx}{3x^2} =}\)

\(\displaystyle{ =[\frac{0}{0}] = \lim_{ x\to 0} \frac{-sinx}{6x} = [ \frac{0}{0} ] =}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{ x\to 0} \frac{-cosx}{6}= -\frac{1}{6}}\)

darphus · Post autor: **darphus** » 21 lis 2010, o 13:49

Dzięki wielkie, a mam jeszcze pytanie wiadomo, że robiąc zadania z tą regulą nad = pisze sie H ale nie zawsze w którym miejscu mam napisać? I Co z drugim przykładem?

Mortify · Post autor: **Mortify** » 21 lis 2010, o 16:42

no drugi przykład tak samo się robi:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \frac{1-x}{lnx} \mathop {\stackrel{[H]}{=}}_{[ \frac{0}{0}]} \lim_{x\to 1} \frac{(1-x)'}{(lnx)'}= ...}\)

"H"piszemy wtedy kiedy korzystamy z tej reguły.

darphus · Post autor: **darphus** » 21 lis 2010, o 17:08

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \frac{1-x}{lnx} \mathop {\stackrel{[H]}{=}}_{[ \frac{0}{0}]}= \frac{-1}{ \frac{1}{x} }=-1}\)
W ten sposób? i oczywiśćie pod ostatnim równa się nie pisze [0,0]??

Mortify · Post autor: **Mortify** » 22 lis 2010, o 00:23

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \frac{1-x}{lnx} \mathop {\stackrel{[H]}{=}}_{[ \frac{0}{0}]}= \lim_{x\to 1}\frac{-1}{ \frac{1}{x} }=-1}\)

nie pisze się tego ułamka nad równa się, bo tam nie ma już symbolu nieoznaczonego tylko oznaczony. (bo jak podstawimy za x jedynkę to możemy to policzyć)

darphus · Post autor: **darphus** » 22 lis 2010, o 12:18

niestety nie rozumiem mogłbyś prościej? i jak powinno być? Niestety do tego noga jestem.

Mortify · Post autor: **Mortify** » 22 lis 2010, o 12:33

no jak za x podstawimy 1 w wyrażeniu: \(\displaystyle{ \frac{1-x}{\ln x}}\) to co otrzymamy?

\(\displaystyle{ \frac{1-1}{\ln1}= \frac{0}{0}}\) czyli takie nie wiadomo co, zwane w matematyce symbolem nieoznaczonym (bo nie wiemy ile to jest).

Tak jak napisałem post wyżej powinno być. Tam nie dopisałeś granicy, a powinieneś, bo dopiero po kolejnym znaku "=" przeszedłeś do granicy, czyli po podstawieniu za x jedynki dostałeś: \(\displaystyle{ \frac{-1}{1}}\) a to to już wiesz, ile to jest(symbol oznaczony), dlatego można opuścić granicę i tę wartość wstawić.