granica ciągu

[Kamilekzmc]

Oblicz granicę ciągu:
\(\displaystyle{ ((n+1)^{k}-n^{k})}\) , \(\displaystyle{ k \in (0;1)}\)

jak to pomoże to to zadanie ze stankiwicza, odpowiedź: 0

[Qń]

Można tak:
\(\displaystyle{ (n+1)^k-n^k= n^k \cdot \left( \left(1+\frac1n \right)^k -1\right) =
n^{k-1} \cdot \frac{\left(1+\frac1n \right)^k -1}{\frac{1}{n}}}\)

Z definicji pochodnej wiemy, że dla \(\displaystyle{ f(x)=x^k}\) mamy:
\(\displaystyle{ f'(1)= \lim_{h\to 0} \frac{(1+h)^k-1}{h}}\)
Ale \(\displaystyle{ f'(1)=k}\), zatem i ta granica jest równa \(\displaystyle{ k}\). Stąd wniosek, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\left(1+\frac1n \right)^k -1}{\frac{1}{n}}=k}\)

Ponieważ jednocześnie:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n^{k-1}=0}\)
więc dostajemy tezę.

Q.

[Kamilekzmc]

dzięki