Badanie zbieżności ciągu.

MakCis · Post autor: **MakCis** » 19 lis 2010, o 22:27

Zbadać zbieżność ciągu określonego wzorem \(\displaystyle{ \frac{5n^3 +n^2 - 6}{3n^4+7}}\)

Pierwszy raz spotykam się takim zadaniem. Wiem jak policzyć granicę tego ciągu, ale jak zbadać czy jest on zbieżny?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 19 lis 2010, o 22:43

Np. warunek Cauchy'ego:

MakCis · Post autor: **MakCis** » 19 lis 2010, o 23:07

Nie za bardzo wiem jak to działa. Mam podany warunek Cauuchy'ego w takiej postaci:

\(\displaystyle{ (\forall{\epsilon > 0 })( \exists N)( \forall m,n> N) |a_n - a_m| < \epsilon}\)

Nie mam pojęcia jak to zastosować do mojego przyłądu.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 19 lis 2010, o 23:39

A moze lepiej pokazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony...
Ale na upartego moznabyłoby zrobić to z Cauchy'ego (nie jestem pewien czy moje rozumowanie jest poprawne, lepiej niech ktoś to jeszcze sprawdzi):
Niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) i \(\displaystyle{ m>n}\). Badamy różnicę:
\(\displaystyle{ |a_n - a_m|=|\frac{5m^3 +m^2 - 6}{3m^4+7}-\frac{5n^3 +n^2 - 6}{3n^4+7}|=|\frac{5(n+1)^3 +(n+1)^2 - 6}{3(n+1)^4+7}+\frac{5(n+2)^3 +(n+2)^2 - 6}{3(n+2)^4+7}+...+\frac{5m^3 +m^2 - 6}{3m^4+7}| \le (m-n) \cdot}\) \(\displaystyle{ max \left(\frac{5(n+1)^3 +(n+1)^2 - 6}{3(n+1)^4+7},\frac{5(n+2)^3 +(n+2)^2 - 6}{3(n+2)^4+7},...,\frac{5m^3 +m^2 - 6}{3m^4+7} \right)}\)
Ostatnie wyrażenie (jakiekolwiek by nie było) ma w liczniku jako współczynniki przy \(\displaystyle{ n}\) liczby ujemne, a w mianowniku liczby dodatnie, więc granicą tego największego ułamka, pomnożonego przez \(\displaystyle{ (m-n)}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) jest liczba ujemna. Zatem biorąc dostatecznie duże \(\displaystyle{ n}\) (powiedzmy \(\displaystyle{ n>N}\)) możemy uczynić ostatnie wyrażenie dowolnie bliskim tej ujemnej granicy, więc będzie to mniejsze od \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), więc ciąg jest zbieżny.

MakCis · Post autor: **MakCis** » 19 lis 2010, o 23:58

A moze lepiej pokazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony...

A jak to pokazać?

Post autor: **Dasio11** » 20 lis 2010, o 10:35

Ciąg jest zbieżny \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow}\) Ciąg ma granicę właściwą

Wystarczy więc policzyć granicę tego ciągu...

MakCis · Post autor: **MakCis** » 20 lis 2010, o 12:24

Obliczenie granicy to drugie polecenie w tym zadaniu. Najpierw trzeba jakoś zbadać zbieżność tego ciągu...

lvl4t3usz · Post autor: **lvl4t3usz** » 20 lis 2010, o 12:34

A zastosowanie kryterium porównawczego nie byłoby dobrym pomysłem ??

MakCis · Post autor: **MakCis** » 20 lis 2010, o 13:03

A kryterium porównawcze nie jest dla szeregów? Nie wiem jak miałbym to użyć dla ciągów...

lvl4t3usz · Post autor: **lvl4t3usz** » 20 lis 2010, o 13:43

A zbieżność ciągu nie jest także zbieżnością szeregu? W sumie ja miałem tylko zbiezność szeregu to nie wiem ...

MakCis · Post autor: **MakCis** » 20 lis 2010, o 13:57

To może pokaż jak byś rozwiązywał ten przykład korzystając z kryterium porównawczego...

lvl4t3usz · Post autor: **lvl4t3usz** » 20 lis 2010, o 14:04

\(\displaystyle{ \frac{5 n^{3}+ n^{2}-6 }{3 n^{4}+7 } \le \frac{5 n^{3} +3 n^{3} }{3n ^{4} } = \frac{8}{3} \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{1}{n} }}\)
Ostatn zapis to szereg harmoniczny rozbieżny, zatem na mocy kryterium porownawczego , ten pierwszy też jest rozbieżny.

Pewnie kompletnie źle,ale nic innego bym nie wymyślił

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 20 lis 2010, o 14:35

Dasio11,
nie wystarczy policzyć granicy.

lvl4t3usz,
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{1}{n} }}\)
przecież ten szereg jest rozbieżny.. i w ogóle ta równość jest nieprawdziwa..

moje rozwiazanie z wykorzystaniem Cauchy'ego też jest błędne, postaram się je poprawić.

lvl4t3usz · Post autor: **lvl4t3usz** » 20 lis 2010, o 14:45

Fakt, na podstawie Tw. 12 jest rozbieżny , ale poza tym jest ok ? ; o

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 20 lis 2010, o 14:50

lvl4t3usz pisze:\(\displaystyle{ \frac{5 n^{3}+ n^{2}-6 }{3 n^{4}+7 } \le \frac{5 n^{3} +3 n^{3} }{3n ^{4} } = \frac{8}{3} \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{1}{n} }}\)
Ostatn zapis to szereg harmoniczny rozbieżny, zatem na mocy kryterium porownawczego , ten pierwszy też jest rozbieżny.

to nam nic nie daje
(ten pierwszy nawet jest zbieżny)