Granica dość łatwa chyba

[matbla91]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{ n^{2} }{n+1} }}\)

[Szemek]

skorzystaj z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n} = 1}\)

[lvl4t3usz]

czyli \(\displaystyle{ \frac{n}{dąży do 1}}\)
zatem\(\displaystyle{ g= \infty}\)
zgadza się ?

[Dasio11]

Nie. Przede wszystkim: co masz na myśli, pisząc

czyli \(\displaystyle{ \frac{n}{dąży do 1}}\)
zatem\(\displaystyle{ g= \infty}\)

?

[lvl4t3usz]

Mam na myśli to że n dąży do nieskończoności, zatem w mianowniku powinno być 1 .
n/1 gdy n dąży do nieskończoności oznacza \(\displaystyle{ g = \infty}\)

[Dasio11]

Uprzejmie proszę, żebyś w swoich wypowiedziach wyrażał się jasno i klarownie: co gdzie powinno być i na jakiej podstawie.
Jeśli chodzi ci o to, że powyższa granica wynosi \(\displaystyle{ +\infty}\), to jesteś w błędzie: wynosi ona \(\displaystyle{ 1}\) za sprawą pierwiastka stopnia \(\displaystyle{ n}\) obejmującego wyrażenie, które istotnie rozbiega do \(\displaystyle{ +\infty}\).

[daro6230]

a jak to rozpisac? moze byc cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ n^{2} }{n+1}=t , t \rightarrow \infty}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{t}=1}\) c.n.d ?

jesli nie mozna tego tak zrobic to prosilbym o rozpisanie tego przyklady

[Dasio11]

Nie można zrobić tego twoim sposobem. Gdy zamieniasz zmienne, nie możesz zostawić tej starej, bo wyjdą ci dwie różne i nie do końca wiadomo, jak to liczyć. Powyższą granicę formalnie można policzyć chociażby tak:

\(\displaystyle{ 1<\sqrt[n]{ \frac{n^2}{n+1}} < \sqrt[n]{\frac{n^2}{n}}=\sqrt[n]{n}}\)

zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach, \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{n^2}{n+1}}=1}\).

Znasz dowód faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=1}\)?

[daro6230]

no wlasnie nie znam, a tak sie sklada ze mam go w pytaniach do kolosa.. a moglbys go wyjasnic?

[Dasio11]

Ja znam taki oto:

Niech \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\sqrt{n}}=1+a_n}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ 0<a_n}\) oraz
\(\displaystyle{ \sqrt{n} =(1+a_n)^n \ge 1+na_n}\), tzn. \(\displaystyle{ a_n \le \frac{\sqrt{n}-1}{n}}\). Stąd

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt{n}}=\lim_{n \to \infty} 1+a_n=1}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=1^2=1}\). \(\displaystyle{ \blacktriangledown}\)