Granica ciągu liczbowego o wyrazie ogólnym

[Lolek271]

Oblicz granicę ciągu:

\(\displaystyle{ a=( \frac{n^{2}+2}{2n^{2}+1} )^{ n^{2}}}\)

Doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ (0,5(1+ \frac{3/2}{n ^{2}+1/2 } ) ^{n ^{2} }}\)

Według odpowiedzi ta granica to \(\displaystyle{ e ^{3/2}}\) lecz nie wiem jak do tego dojść. Niby w moim przekształceniu występuje 3/2, ale mianownik nie zgadza się z potęgą, no i cały nawias jest mnożony przez 0,5

[ares41]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}+2}{2n^{2}+1}=\frac{2n^{2}+1-n^2+1}{2n^{2}+1}=1+ \frac{-n^2+1}{2n^{2}+1}=1+ \frac{1}{ \frac{2n^{2}+1}{{-n^2+1}} }}\)

[daro6230]

pozniej korzystamy z
lim_{n o infty} left(1+frac{1}{n}
ight)^{n}=e

no i wychodzi mi ostatecznie ze jest to e^-nieskonczonosci co sie nie zgadza z odp.. moglbys to rozpisac?

[ares41]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n^{2}+1}{{-n^2+1}} } \right)^{n^2}=\lim_{ n\to \infty }\left( \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n^{2}+1}{{-n^2+1}} } \right)^{\frac{2n^{2}+1}{{-n^2+1}}} \right)^{ \frac{n^2(-n^2+1)}{2n^{2}+1} }=\ldots}\)

[daro6230]

dokladnie. i jaki jest wynik? e^-nieskonczonosci


?

[Lolek271]

Czyli odpowiedź jest błędna? Bo z wykładnika wynika, że granica to \(\displaystyle{ e ^{- \infty }}\)

[Dasio11]

Tutaj (przykład 21.) jest toa granica rozwiązana na trzy różne sposoby, z czego pierwszy jest chyba dużo "czystszy" od tego, co tutaj piszecie.