niezależność całki od drogi całkowania

[asiak1987]

jak obliczyć:
\(\displaystyle{ \int_{AB} (x+y)dx + (x+ y)dy}\)
gdzie A=(0,1), B=(2,3), a symbol AB oznacza dowolną krzywą regularną łączącą punkty A i B

[kuch2r]

Zbadamy najpierw niezaleznosc calki od drogi calkowania. W tym celu obliczymy:
\(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=1\\\frac{\partial Q}{\partial x}=1}\)
Warunek niezaleznosci calki od drogi calkowania jest spelniony.
Dowolna krzywa L laczaca punkty A i B.
Niech:
\(\displaystyle{ L=L_1\cup L_2}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ L_1:\begin{cases}x=t\\y=1\end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ t\in(0,2)}\)
\(\displaystyle{ L_2:\begin{cases}x=2\\y=t\end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ t\in(1,3)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ \int_L=\int_{L_1}+\int_{L_2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{L_1}(x+y)dx+(x+y)dy=\int\limits_{0}^{2}(t+1)dt\\
t_{L_2}(x+y)dx+(x+y)dy=\int\limits_{1}^{3}(t+2)dt}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \int_{AB} (x+y)dx+(x+y)dy=\int\limits_{0}^{2}(t+1)dt+\int\limits_{1}^{3}(t+2)dt}\)

[asiak1987]

dlaczego \(\displaystyle{ \int_{L1}}\) jest w od 0 do 2? nie powinna być od 0 do 1?

[kuch2r]

poprawilem blad.

[Tomo20]

Skąd sie to bierze
Dlaczego w L2 x=2
Dlaczego przedziały sie zmieniaja

\(\displaystyle{ L_1:\begin{cases}x=t\\y=1\end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ t\in(0,2)}\)
\(\displaystyle{ L_2:\begin{cases}x=2\\y=t\end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ t\in(1,3)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ \int_L=\int_{L_1}+\int_{L_2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{L_1}(x+y)dx+(x+y)dy=\int\limits_{0}^{2}(t+1)dt\\
\int_{L_2}(x+y)dx+(x+y)dy=\int\limits_{1}^{3}(t+2)dt}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \int_{AB} (x+y)dx+(x+y)dy=\int\limits_{0}^{2}(t+1)dt+\int\limits_{1}^{3}(t+2)dt}\)

A jak liczyć cos takiego??

\(\displaystyle{ \int_{AB}(3x-y+1)dx-(x+4y+2)dy, A=(-1,2) B=(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \int_{AB}(y\sin{x}dx-\cos{x})dy A=(0,1) B=(\Pi, -1)}\)