Mam na czwartek na kolokwium zadanie którego nikt nie potrafi zrobić na roku:
\(\displaystyle{ Niech \ f: R^{2} \rightarrow R^{2} \ bedzie \ zlozeniem \ jednokladnosci \ o \ srodku \ S=(1,2) \ i \ skali \ k=2, \ obrotu \ o \ srodku \ S'=(1,1) \ o \ kat \alpha = 45^\circ \ zgodnie \ z \ ruchem \ wskazowek \ zegara \ oraz \ translacji \ o \wektor \ \vec{u}=[3,4]. \
a)\ Znalezc \ wzor \ przeksztalcenia \ f. \
b) \ Podac \ rownanie \ obrazu \ f(C), \ gdzie \ C \subset R^{2} \ jest \ krzywa \ o \ rownaniu \ y^{3} -xy+ x^{3} =0}\).
Bardzo bym prosiła o rozwiązanie krok po kroku w razie czego możecie mi rozwiązanie wysłac na moją pocztę magda19ania91@onet.pl
Złożenie jednokładności, jego obrót i translacja u wektor
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Złożenie jednokładności, jego obrót i translacja u wektor
Wbrew pozorom to nie jest takie trudne zadanie, tylko trochę uciążliwe. Proponuję najpierw wyznaczyć ogólne wzory na obrazy punktów we wszystkich tych przekształceniach osobno.
Jednokładność o skali \(\displaystyle{ k=2}\) i środku \(\displaystyle{ S=(1,2)}\) przypisuje danemu punktowi \(\displaystyle{ A(x,y)}\) taki punkt \(\displaystyle{ A'(x',y')}\), że:
\(\displaystyle{ \vec{SA'}=k\vec{SA}\\
\ [x^{\prime}-1,y^{\prime}-2]=2[x-1,y-2]\\
\begin{cases} x^{\prime}-1=2x-2 \\ y^{\prime}-2=2y-4 \end{cases}\\
\begin{cases} x^{\prime}=2x-1 \\ y^{\prime}=2y-2 \end{cases}}\)
Obrót dowolnego punktu \(\displaystyle{ A(x,y)}\) o środku \(\displaystyle{ S'=(1,1)}\) zrobimy tak: najpierw przesuniemy wszystko o wektor \(\displaystyle{ [-1,-1]}\) (tak, by obrót wykonywany był wokół początku układu), obrócimy ten punkt i z powrotem przesuniemy o wektor \(\displaystyle{ [1,1]}\).
Wzór na obrót o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wokół \(\displaystyle{ (0,0)}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime}=xcos\alpha-ysin\alpha \\ y^{\prime}=xsin\alpha+ycos\alpha \end{cases}}\)
Dla \(\displaystyle{ \alpha=45^\circ}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-y\right) \\ y^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right) \end{cases}}\)
Zgodnie z tym, co napisałem wcześniej, najpierw przesuwamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime}=x-1 \\ y^{\prime}=y-1 \end{cases}}\)
potem obracamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime \prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}-y^{\prime}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-1-(y-1)\right) \\ y^{\prime \prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}+y^{\prime} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-1+y-1 \right) \end{cases}}\)
na koniec znów przesuwamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime\prime\prime}=x^{\prime \prime}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-y\right)+1 \\ y^{\prime\prime\prime}=y^{\prime \prime}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y-2 \right)+1 \end{cases}}\)
i mamy wzory na współrzędne dowolnego punktu po opisanym obrocie.
translacja o wektor jest najprostsza, proponuję, żebyś spróbowała sama.
Na koniec, kiedy będziemy znali już wzory na wszystkie trzy przekształcenia, musimy po prostu punkt \(\displaystyle{ A(x,y)}\) przekształcić w jednokładności, otrzymany punkt przekształcić w obrocie, a otrzymany tu punkt przesunąć o wektor.
Jak zrobisz to, co opisałem, ale nie będziesz wiedziała, jak rozwiązać podpunkt b, to daj znać.
Jednokładność o skali \(\displaystyle{ k=2}\) i środku \(\displaystyle{ S=(1,2)}\) przypisuje danemu punktowi \(\displaystyle{ A(x,y)}\) taki punkt \(\displaystyle{ A'(x',y')}\), że:
\(\displaystyle{ \vec{SA'}=k\vec{SA}\\
\ [x^{\prime}-1,y^{\prime}-2]=2[x-1,y-2]\\
\begin{cases} x^{\prime}-1=2x-2 \\ y^{\prime}-2=2y-4 \end{cases}\\
\begin{cases} x^{\prime}=2x-1 \\ y^{\prime}=2y-2 \end{cases}}\)
Obrót dowolnego punktu \(\displaystyle{ A(x,y)}\) o środku \(\displaystyle{ S'=(1,1)}\) zrobimy tak: najpierw przesuniemy wszystko o wektor \(\displaystyle{ [-1,-1]}\) (tak, by obrót wykonywany był wokół początku układu), obrócimy ten punkt i z powrotem przesuniemy o wektor \(\displaystyle{ [1,1]}\).
Wzór na obrót o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wokół \(\displaystyle{ (0,0)}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime}=xcos\alpha-ysin\alpha \\ y^{\prime}=xsin\alpha+ycos\alpha \end{cases}}\)
Dla \(\displaystyle{ \alpha=45^\circ}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-y\right) \\ y^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right) \end{cases}}\)
Zgodnie z tym, co napisałem wcześniej, najpierw przesuwamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime}=x-1 \\ y^{\prime}=y-1 \end{cases}}\)
potem obracamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime \prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}-y^{\prime}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-1-(y-1)\right) \\ y^{\prime \prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}+y^{\prime} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-1+y-1 \right) \end{cases}}\)
na koniec znów przesuwamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{\prime\prime\prime}=x^{\prime \prime}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-y\right)+1 \\ y^{\prime\prime\prime}=y^{\prime \prime}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y-2 \right)+1 \end{cases}}\)
i mamy wzory na współrzędne dowolnego punktu po opisanym obrocie.
translacja o wektor jest najprostsza, proponuję, żebyś spróbowała sama.
Na koniec, kiedy będziemy znali już wzory na wszystkie trzy przekształcenia, musimy po prostu punkt \(\displaystyle{ A(x,y)}\) przekształcić w jednokładności, otrzymany punkt przekształcić w obrocie, a otrzymany tu punkt przesunąć o wektor.
Jak zrobisz to, co opisałem, ale nie będziesz wiedziała, jak rozwiązać podpunkt b, to daj znać.