oblicz granice funkcji - bez de l'hospitala

[daro6230]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \left( \frac{(x+1) ^{0,5}-1 }{x ^{2}} \right)}\)

analogicznie pewnie

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \left( \frac{(4-x) ^{0,5}-2 }{x ^{3}} \right)}\)

[sathan]

Podobne zadanie pojawiło się wczoraj w dziale Granica Funkcji.
Tamże rozwiązano.

Odpowiedź, czy metodę można przenieść pozostawiam Czytelnikowi.



Jak to obliczyć? Nie wiem za bardzo co zrobić z tym n. Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{ (1 + x)^{n} - 1 }{2x}}\)

Chciałbym to rozwiązać bez de Hospitala.

\(\displaystyle{ (x+1) ^{n}-1=}\)\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} {n \choose k} x^{k}}\)

Po podstawieniu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie w postaci:

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} {n \choose k} \frac{ x^{k-1} }{2}}\)

Zauważmy, że wszystki składniki sumy prócz pierwszego dążą w podanej granicy do 0.

Pierwszy zaś do \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)

Co kończy dowód.

Zapis wielomianowy jest skróconą formą rozwinięcia Newtona. Już bez jedynki.

Co nie jest zbyt skomplikowane, choć strasznie wygląda.

[daro6230]

hmm, nie do konca rozumiem tej metody ;/
po za tym w moim przypadku nie ma dodatkowej stalej "n"