Granica funkcji, jeden przykład

[pawel6582]

Jak to obliczyć? Nie wiem za bardzo co zrobić z tym n. Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{ (1 + x)^{n} - 1 }{2x}}\)

Chciałbym to rozwiązać bez de Hospitala.

[Chromosom]

\(\displaystyle{ (1+x)^n=e^{n\ln(1+x)}}\)

[Mikolaj9]

Można też rozwinąć \(\displaystyle{ (1+x)^{n}}\) w dwumian Newtona i dalej pokombinować.

[pawel6582]

Chromosom możesz to jeszcze bardziej mi rozpisać? Ja robiłem coś takiego:

\(\displaystyle{ (1 + x)^{n} = \left[ (1 + x)^{ \frac{1}{x} } \right] ^{xn} = e ^{xn}}\)

[sathan]

\(\displaystyle{ (x+1) ^{n}-1=}\)\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} {n \choose k} x^{k}}\)

Po podstawieniu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie w postaci:

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} {n \choose k} \frac{ x^{k-1} }{2}}\)

Zauważmy, że wszystki składniki sumy prócz pierwszego dążą w podanej granicy do 0.

Pierwszy zaś do \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)

Co kończy dowód.

Zapis wielomianowy jest skróconą formą rozwinięcia Newtona. Już bez jedynki.

Co nie jest zbyt skomplikowane, choć strasznie wygląda.

[pawel6582]

a z tym \(\displaystyle{ e ^{xn}}\) nie da rady coś zrobić? Bo zapisu dwumianowego za bardzo nie rozumiem.


Można jakoś wyłączyć to n przed e? wtedy skorzystać z tego że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{ e^{x} - 1 }{x}= 1}\) i wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)??

[sushi]

Chromosom możesz to jeszcze bardziej mi rozpisać? Ja robiłem coś takiego:

\(\displaystyle{ \left[ (1 + x)^{ \frac{1}{x} } \right] ^{xn} = e ^{xn}}\)

to jest głupota

[test30]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{ (1 + x)^{n} - 1 }{2x}=
\frac{1}{2}\lim_{x \to 0 } \frac{ (1 + x)^{n} - 1 }{x}=\frac{1}{2}n=\frac{n}{2}

\textrm{korzystam z }\lim_{x \to 0} \frac{\left(1+x\right)^a-1}{x}=a\\\textrm{dowod: } \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\textrm { /stronami pierwiaskujemy n-stopniowo} \\\Rightarrow
\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)=e^\frac{1}{x} \textrm{, niech } x=\frac{1}{n} \Rightarrow 1+x=e^x \textrm{ przy } x \to 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\left(1+x\right)^a-1}{x}=
\left|1+x=e^x \Rightarrow x=e^x-1\right|=
\lim_{x \to 0} \frac{\left(1+e^x-1\right)^a-1}{x}=
\lim_{x \to 0} \frac{\left(e^x\right)^a-1}{x}=\left|\lim_{x \to 0} \frac{\left(s\right)^a-1}{x}=ln s\right|=
ln e^x=x ln e=\left|ln e=1\right|=x}\)

[sathan]

\(\displaystyle{ (x+1) ^{n}-1=}\)\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} {n \choose k} x^{k}}\)

Po podstawieniu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie w postaci:

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} {n \choose k} \frac{ x^{k-1} }{2}}\)

Zauważmy, że wszystki składniki sumy prócz pierwszego dążą w podanej granicy do 0.

Pierwszy zaś do \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)

Co kończy dowód.

Zapis wielomianowy jest skróconą formą rozwinięcia Newtona. Już bez jedynki.

Co nie jest zbyt skomplikowane, choć strasznie wygląda.