Dwie proste i punkt. Wyznacz okrąg.

[dario777]

Witam
Mam problem z zadaniem:
Wyznacz okrąg który ma styczne o równaniach \(\displaystyle{ y=x+0,5}\) oraz \(\displaystyle{ y=-0,5x+2}\).Do okręgu należy punkt \(\displaystyle{ P=(6;1)}\)
Próbuję od wczoraj ale nie wychodzi

[Gadziu]

Nie ten dział... Tu mają być trójkąty, a to jest analityczna...

Co do zadania. Znasz wzór na okrąg? Jeśli nie to proszę:
Równanie okręgu o środku O=(a,b) i promieniu r: \(\displaystyle{ \left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}=r^{2}}\)
W układzie równań rozwiązujesz z równaniami stycznych i wkładasz do równania punkt.
Powinno wyjść

[dario777]

Wzory znam tylko po co mam wstawiać punkt P do równań stycznych przecież on nie do nich nie należy.
Ma ktoś inny pomysł ?

[klaustrofob]

spróbuj tak: odległość środka od każdej z prostych jest taka sama, jak jego odległość od punktu P. stąd r-nia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{|a-b+0.5|}{\sqrt{2}}= \frac{|0.5a+b-2|}{\sqrt{1+0.25}}\\ \frac{|a-b+0.5|}{\sqrt{2}}=\sqrt{(a- 6)^2+(b-1)^2}\end{cases}}\) dość masakrycznie to wygląda...

inny sposób: pierwsza prosta jest nachylona do osi OX pod kątem \(\displaystyle{ 45^o}\), druga pod kątem \(\displaystyle{ 150^o}\). dwusieczne kątów, jakie tworzą te proste, nachylone są do osi OX pod kątami: \(\displaystyle{ 92.5^o}\) i \(\displaystyle{ 2.5^o}\). należałoby znaleźć tangensy tych kątów, czyli współczynniki kierunkowe dwusiecznych - wiedziałbyś, na jakiej prostej leży środek. z rozważań geometrycznych wynika, że chodzi o dwusieczną nachyloną pod kątem \(\displaystyle{ 2.5^o}\). jednak prościej będzie znaleźć tangens \(\displaystyle{ 92.5^o}\). niech \(\displaystyle{ x=150^o,y=45^o}\), wtedy \(\displaystyle{ 92.5^o=\frac{x+y}{2}}\)
ze wzoru \(\displaystyle{ \tg\frac{z}{2}=\frac{1-\cos z}{\sin z}}\) mamy \(\displaystyle{ \tg 92.5^o=\frac{1-\cos(150^o+45^o)}{\sin (150^o+45^o)}}\)

[dario777]

mam 2 równania ale nie wyliczę tego bo jest \(\displaystyle{ a^{2}}\) i \(\displaystyle{ b^{2}}\)

[klaustrofob]

e, tam, na pewno da się zrobić. ale spróbuj drugim sposobem: \(\displaystyle{ \tg 92.5^o=\frac{1-\cos(150^o+45^o)}{\sin (150^o+45^o)}=\frac{1-(\cos 150^o\cos 45^o-\sin 150^o\sin 45^o)}{\sin 150^o\cos 45^o+\cos 150^o\sin 45^o}}\) wylicz to, a potem oblicz \(\displaystyle{ \tg 2.5^o}\) - to jest współczynnik kierunkowy prostej, na której leży środek okręgu. dodatkowo prosta ta przechodzi przez punkt przecięcia prostych wyjściowych.

[dario777]

To zadanie wymyślił mój nauczyciel i wspomniał że jeżeli geodeci to robią to my też (matma rozszerzona).Moim zdaniem tu trzeba coś z funkcjami zrobić.
Podstawiałem do układu ale jest za dużo niewiadomych.Może gdzieś drugie koło dorysować ?