Wyznaczyć dziedzinę funkcji.

Piotr20 · Post autor: **Piotr20** » 12 lis 2010, o 19:42

Bardzo proszę o pomoc w znalezieniu dziedziny poniższej funkcji. Doszedłem do pewnego poziomu i nie wiem co dalej.
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{ n=1 }^{ \infty } (x ^{2} - x - 6) ^{n}}\)

Zaczynałem tak:
\(\displaystyle{ y = x ^{2} - x - 6 \\
\Delta = 25; \\
\sqrt{\Delta} = 5 \\
x _{1} = 3 \vee x _{2} = -2 \\
y = (x-3)(x+2)\\
f(x) = \sum_{ n=1 }^{ \infty } [(x-3)(x+2)] ^{n}}\)

Domyślam się, że zrobiłem niezbyt wiele ale nigdy nie przerabiałem tego typu przykładów. Bardzo proszę o wyrozumiałość . Dzięki z góry.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 12 lis 2010, o 19:58

czy wiesz, kiedy szereg geometryczny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} q^n}\) jest zbieżny?

Piotr20 · Post autor: **Piotr20** » 12 lis 2010, o 20:28

klaustrofob pisze:czy wiesz, kiedy szereg geometryczny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} q^n}\) jest zbieżny?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} q^n}\) jest zbieżny dla |q|<1.

Tyle, że przynajmniej w moim przypadku nauka teorii nie zawsze idzie w parze z rozwiązywaniem zadań w praktyce .

Mógłby ktoś wskazać mi sposób w jakim ten przykład rozwiązać ? Dzięki wielkie z góry.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 12 lis 2010, o 20:32

Piotr20 pisze:
klaustrofob pisze:czy wiesz, kiedy szereg geometryczny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} q^n}\) jest zbieżny?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} q^n}\) jest zbieżny dla |q|<1.

czy w Twoim zadaniu da się zauważyć szereg geometryczny? jakie jest jego \(\displaystyle{ q}\)?

Piotr20 · Post autor: **Piotr20** » 12 lis 2010, o 21:34

Dzięki za odpowiedź

\(\displaystyle{ q = x ^{2} - x - 6

\sqrt{delta} = 5

x_{1} = 3 \vee x_{2} = -2}\)

q = |(x-3)(x+2)|

Tyle że nie jestem pewny tego co mam z tym teraz zrobić.

Czy rozpatrzyć osobno poniższe przypadki ?
1) |x-3|<1
2) |x+2|<1

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 12 lis 2010, o 22:21

czyli masz problem z nierównościami kwadratowymi... musisz rozwiązać nierówność: \(\displaystyle{ |x ^{2} - x - 6|<1}\), która jest równoważna układowi \(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - x - 6<1 \\ x ^{2} - x - 6>-1 \end{cases}}\) albo \(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - x - 7<0 \\ x ^{2} - x - 5>0 \end{cases}}\)