Szeregi liczbowe - podstawy podstaw.

[MatematycznyT?uk]

Witam, próbuje pojąć podstawy szeregów liczbowych i granic ciągów. Jestem samoukiem i korzystam tylko z jakis fragmentów PDF jakie znajdę w internecie. Mógłby mi ktoś to rozpisać lub napisać dlaczego tak ?
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}= \sum_{ n=1 }^{\infty} (\frac{1}{n}- \frac{1}{n+1} )}\)
Dlaczego ten minus jest ?
I końcówka zadania na tym samym przykładzie wychodzi : \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{n+1} \rightarrow 1}\)
Dlaczego wychodzi 1 ? Rozumiem, że gdyby w wyniku była niewiadoma "n" to szereg byłby rozbieżny ?

[Mikolaj9]

Minus jest dlatego, że rozbiliśmy ten ułamek na ułamki proste.

Teraz przepisując ten szereg w takiej postaci otrzymujemy dla pewnego n (drugi wyraz z poprzedniego nawiasu redukuje się z pierwszym z następnego)

\(\displaystyle{ (1 - \frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+...+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})
=1-\frac{1}{n+1}}\)

Przechodząc do granicy, drugi człon nam znika. Gdyby ta granica nie istniała lub była niewłaściwa, szereg nie byłby zbieżny do żadnej liczby.

[MatematycznyT?uk]

Dziękuje za odpowiedz lecz dalej nie bardzo wiem o co chodzi. Mógłby mi ktoś rozpisać te rozbicie ułamka i jak powstaje ten minus ?