dowód przez indukcję2
-
fuzzgun
dowód przez indukcję2
Udowodnij,że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\) prawdziwa jest nierówność:\(\displaystyle{ \frac{1}{ 1^{2} }+ \frac{1}{ 2^{2} }+ \frac{1}{3 ^{2} }+...+ \frac{1}{n ^{2} }}\)jest mniejsze od \(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n}}\)
-
robson161
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 18 sty 2009, o 19:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 20 razy
dowód przez indukcję2
Dla \(\displaystyle{ n = 2}\) zachodzi. Załóżmy że zachodzi dla n i udowodnijmy dla n+1
Zatem z założenia indukcyjnego zachodzi
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n} \ge \frac{1}{ 1^{2} }+ \frac{1}{ 2^{2} }+ \frac{1}{3 ^{2} }+...+ \frac{1}{n ^{2} }}\)
a chcemy pokazać
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{ 1^{2} }+ \frac{1}{ 2^{2} }+ \frac{1}{3 ^{2} }+...+ \frac{1}{n ^{2} } + \frac{1}{(n+1) ^{2} }}\)
Zatem wystaczy żeby zachodziło:
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n+1} \ge 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1) ^{2} }}\)
co po prostych przekształceniach jest prawdą
Zatem z założenia indukcyjnego zachodzi
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n} \ge \frac{1}{ 1^{2} }+ \frac{1}{ 2^{2} }+ \frac{1}{3 ^{2} }+...+ \frac{1}{n ^{2} }}\)
a chcemy pokazać
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{ 1^{2} }+ \frac{1}{ 2^{2} }+ \frac{1}{3 ^{2} }+...+ \frac{1}{n ^{2} } + \frac{1}{(n+1) ^{2} }}\)
Zatem wystaczy żeby zachodziło:
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n+1} \ge 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1) ^{2} }}\)
co po prostych przekształceniach jest prawdą