LXII Olimpiada Matematyczna I etap

[AVquiraniel]

Moje 6:

Ukryta treść:    

Tak jak w postach powyżej dowodzimy, że \(\displaystyle{ \frac{ a^{3} }{ \sqrt{b^{4}+c^{4} + b^{2} c^{2}} } \ge \sqrt{3} \frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}}\) Jako że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny i \(\displaystyle{ a, b, c \ge 0}\), to prawdziwe są nierówności:
\(\displaystyle{ b^{3}(b-a)^{2}(b+a) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ c^{3}(c-a)^{2}(c+a) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (bc-a^{2})^{2}(2bc+a^{2}) \ge 0}\)
Po dodaniu tych trzech nierówności mamy:
\(\displaystyle{ (a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2} \ge 3a^{2}(b^{4}+c^{4}+b^{2}c^{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{b^{4}+c^{4}+b^{2}c^{2}} \ge \sqrt{3}\frac{a^{2}}{(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}}}\)
pierwiastkujemy stronami (wszystko nieujemne) i mnożymy przez \(\displaystyle{ a^{3}}\).
No i to tyle.

[JaQb]

Wydaje mi się, że mam dosyć oryginalny sposób rozwiązania 5., punkt b). Oczywiście dało się to zrobić dużo prościej, ale ja wpadłem na takie coś:

Ukryta treść:    

Dowód przez zaprzeczenie.
Mamy 5 kombinacji krawędzi wchodzących do 1 wierzchołka: (0,0,0), (0,2,2), (0,1,3), (2,1,1) i (2,3,3) przy czym 1 oznacza liczbę, która daje resztę 1 z dzielenia przez 4 itd. Odpowiednio każda z tych kombinacji występuje a,b,c,d,e razy. Mamy 7 zer, 8 jedynek, 8 dwójek, 7 trójek. Jednocześnie łączna ilość zer powinna wyrażać się wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{3a+b+c}{2}=7}\)
Jedynki: \(\displaystyle{ \frac{c+2d}{2}=8}\)
Dwójki: \(\displaystyle{ \frac{2b+d+e}{2}=8}\)
Trójki: \(\displaystyle{ \frac{c+2e}{2} =7}\)
Odejmujemy równania z 1 i 3 i wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ d=e+1}\)
Podstawiamy to do ,,dwójek"
\(\displaystyle{ \frac{2b+2e+1}{2}=8}\)
i mamy sprzeczność

[Sylwek]

Ktoś pytał, jak wpaść na ten lemat, a nie jak przekształcić lemat równoważnie, więc proszę o umiar w pisaniu podobnych rozwiązań

A jak ja wpadłem na ten lemat?

Jak wpaść na lemat do zadania 6.:    

Nierówność NIE jest jednorodna, ale nie jest też bardzo brzydka pod tym względem, bo stopień lewej strony jest 1, a prawej 0. Przydałoby się ją "ujednorodnić" za pomocą założenia. Ale założenie nie jest równością, tylko nierównością. I teraz, jak przy wymyślaniu każdego lematu, myślimy, "co by było, gdyby zachodziło...":
\(\displaystyle{ \sum \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}} \cdot (a^3+b^3+c^3) \ge \sqrt{3} \cdot (a^4+b^4+c^4)}\)

Gdyby to zachodziło, to nasza nierówność byłaby oczywiście prawdziwa (wzmocniliśmy tezę). Na dodatek nowa nierówność jest jednorodna, więc teraz zapominając o nierówności z założenia, spróbujmy udowodnić tą nową. Po lewej stronie są "brzydkie wyrazy" z \(\displaystyle{ \sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}}\) w mianowniku, więc lepiej nie grupować takich wyrazów o róznych mianownikach, jeśli chcemy je szacować. Więc rozbijmy lewą stronę na trzy takie składniki:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}} \cdot (a^3+b^3+c^3)}\)

Nawiasem: czemu 3 składniki? Gdyż po prawej stronie są 3 składniki, więc może uda nam się każdy z nich oszacować - po lewej stronie mielibyśmy po wymnożeniu 9 "brzydkich" składników, które prawdopodobnie nie dadzą nam fajnego oszacowania prawej strony za pomocą jednej nierówności.

"Przeważa" (przykładowo w pierwszym takim składniku) zmienna \(\displaystyle{ a}\), więc gdybyśmy pokazali, że:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}} \cdot (a^3+b^3+c^3) \ge \sqrt{3} \cdot a^4}\)

to byłoby po sprawie, i tak powstał LEMAT

--

I to jest ten "cudowny" lemat. Oczywiście praktycznie zawsze kilka pierwszych prób będzie błędnych/niepoprawnych/przeszacowanych i trzeba trochę pomyśleć, zanim się wpadnie na właściwe pogrupowanie/oszacowanie/domnożenie. Ale, moim zdaniem, to zadanie było dość intuicyjne.

Starałem się dokładnie opisać drogę rozumowania, gdyż może być to mocno pouczające. "Zauważmy, że..." nie jest tak pouczające

P.S. Dopiero teraz zauważyłem, że Marcinek665 podał drogę wymyślania tego lematu podobną do powyższej. Także można prześledzić oba toki myślenia

[silicium2002]

Ktoś pytał, jak wpaść na ten lemat, a nie jak przekształcić lemat równoważnie, więc proszę o umiar w pisaniu podobnych rozwiązań

A jak ja wpadłem na ten lemat?

Jak wpaść na lemat do zadania 6.:    

Nierówność NIE jest jednorodna, ale nie jest też bardzo brzydka pod tym względem, bo stopień lewej strony jest 1, a prawej 0. Przydałoby się ją "ujednorodnić" za pomocą założenia. Ale założenie nie jest równością, tylko nierównością. I teraz, jak przy wymyślaniu każdego lematu, myślimy, "co by było, gdyby zachodziło...":
\(\displaystyle{ \sum \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}} \cdot (a^3+b^3+c^3) \ge \sqrt{3} \cdot (a^4+b^4+c^4)}\)

Gdyby to zachodziło, to nasza nierówność byłaby oczywiście prawdziwa (wzmocniliśmy tezę). Na dodatek nowa nierówność jest jednorodna, więc teraz zapominając o nierówności z założenia, spróbujmy udowodnić tą nową. Po lewej stronie są "brzydkie wyrazy" z \(\displaystyle{ \sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}}\) w mianowniku, więc lepiej nie grupować takich wyrazów o róznych mianownikach, jeśli chcemy je szacować. Więc rozbijmy lewą stronę na trzy takie składniki:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}} \cdot (a^3+b^3+c^3)}\)

Nawiasem: czemu 3 składniki? Gdyż po prawej stronie są 3 składniki, więc może uda nam się każdy z nich oszacować - po lewej stronie mielibyśmy po wymnożeniu 9 "brzydkich" składników, które prawdopodobnie nie dadzą nam fajnego oszacowania prawej strony za pomocą jednej nierówności.

"Przeważa" (przykładowo w pierwszym takim składniku) zmienna \(\displaystyle{ a}\), więc gdybyśmy pokazali, że:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}} \cdot (a^3+b^3+c^3) \ge \sqrt{3} \cdot a^4}\)

to byłoby po sprawie, i tak powstał LEMAT

--

I to jest ten "cudowny" lemat. Oczywiście praktycznie zawsze kilka pierwszych prób będzie błędnych/niepoprawnych/przeszacowanych i trzeba trochę pomyśleć, zanim się wpadnie na właściwe pogrupowanie/oszacowanie/domnożenie. Ale, moim zdaniem, to zadanie było dość intuicyjne.

Starałem się dokładnie opisać drogę rozumowania, gdyż może być to mocno pouczające. "Zauważmy, że..." nie jest tak pouczające

P.S. Dopiero teraz zauważyłem, że Marcinek665 podał drogę wymyślania tego lematu podobną do powyższej. Także można prześledzić oba toki myślenia

Dziękuję bardzo, właśnie o to mi chodziło nierówność to póki co jedyne zadanie, którego nie zrobiłem (tak poza tym liczę na maxa ) i co tu dużo mówić nie czuję się zbyt silnie w tego typu zadaniach, a ten post był bardzo pouczający. dzięki

[Dumel]

Gdyby to zachodziło, to nasza nierówność byłaby oczywiście prawdziwa (wzmocniliśmy tezę).

raczej: nie osłabiliśmy, bo co nie jest oczywiste, nowa nierówność jest równoważna starej.

[Sylwek]

Gdyby to zachodziło, to nasza nierówność byłaby oczywiście prawdziwa (wzmocniliśmy tezę).

raczej: nie osłabiliśmy, bo co nie jest oczywiste, nowa nierówność jest równoważna starej.

Chciałem przekazać, że nawet jeśli nie zachodzi nierówność z założenia: \(\displaystyle{ a^4+b^4+c^4 \ge a^3+b^3+c^3}\), to ta jednorodna nierówność i tak będzie prawdziwa (np. \(\displaystyle{ a=b=c=\frac{1}{2}}\)). Tak naprawdę ta uwaga, o której wspomniałeś (którą miałem na myśli), nie ma zupełnie związku z zadaniem

[Luxxar]

Ahh..Więc zawaliłem na pełnej linii.
W zadaniu 5. wyszło mi że można ustawic liczby tak aby ich sumy były podzielne przez 4 , mam nawet rysunek! (i nadal nie umiem znaleźć błędu ;x)

Więc zrobiłem tylko zadanie 7. ... Kiepsko to widzę.

Może mi ktoś rozjaśnić co to
-ważony Jensen ?
-uogólniony Schur ?
Pierwszy raz stykam się z pojęciem lemat ;p i jak tak czytam to wszyscy rozumieją oprócz mnie ;x
( może ma ktoś jakąś stronę z objaśnieniem ? )

[tkrass]

Uogólniony Schur.

Zarówno Jensena, jak i pojęcie lemat, znajdziesz na wikipedii.

[Marcinek665]

Także Jensen jest w temacie z nierównościami. I sam nie do końca rozumiem 'ważony Jensen', bo przecież nie istnieje coś takiego jak Jensen bez wag. Możliwe, że chodzi o wagi \(\displaystyle{ \neq \frac{1}{n}}\), bo zwykle takich się najczęściej używa.

[Dumel]

Dokładnie. Tak się mówi, podobnie jak funkcjonuje określenie średnia arytmetyczna ważona.

[Luxxar]

Dzięki tkrass !
Osobiście uważam Cie za geniusza ;p Ja z tych nierówności za bardzo nic nie rozumiem..musiałbym sobie to rozpisać albo cóś.;p
Wgl to kompedium to całkiem fajna sprawa :]

[justynian]

Dzisiaj zauważyłem że na stronie OM pojawiło się wyjaśnienie do zadania 9 o które ktoś tutaj pytał a dokładniej o możliwą wklęsłość deltoidu

[Tigro]

Wisi to już tam od ładnych kilkunastu dni

[Marcinek665]

Taaa, bo ktoś tam jęczał, że dla wklęsłego zadanie nie ma sensu, więc zacytowali wikipedię

[justynian]

Widać siłę forum