równanie różniczkowe 2go stopnia

[gustaf999]

Podobnie jak w temacie poprzednim mam problem z równaniami różniczkowymi ale 2go stopnia, 2 przykłady:
\(\displaystyle{ y" + 4y= e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ y" + 2y+ 10y= sin2x}\)

[Mariusz M]

Rozwiązanie równania jednorodnego

\(\displaystyle{ y=e^{\lambda x}}\)

Mając rożwiązanie równania jednorodnego możesz uzmienniać stałe

(układ z macierzą Wrońskiego
całkujesz funkcje uzmiennionych stałych
wstawiasz do rozwiązania równania jednorodnego
otrzymujesz całkę szczególną
Rozwiązanie to suma całki ogólnej równania jednorodnego
i całki szczególnej równania niejednorodnego)

Możesz też przewidywać jeśli Tobie wygodniej

Przewidując sprawdź czy w pierwszym \(\displaystyle{ \lambda=3}\)
jest pierwiastkiem równania charakterystycznego
a w drugim czy \(\displaystyle{ \lambda=2i}\)
jest pierwiastkiem równania charakterystycznego

[gustaf999]

robie metodą przewidywań a więc ten pierwszy przykład robie tak:
\(\displaystyle{ y"+4y=e ^{3x} ;
y"+4y=0 ;
y=e ^{rx} , y'= re ^{rx} , y"= r ^{2}e ^{rx} ;
r ^{2} +4 =0 ;
r= \sqrt{-4} ;
r _{1}=2j ; r _{2}=-2j ;
\alpha = 0 ; \beta = 2 ;
Delta < 0 ;
y _{1}=e ^{ \alpha x} cos \beta x ; y _{2} = e ^{\alpha x} sin \beta x ;
y _{1}= cos2x ; y _{2} = sin2x
y = cos2x + sin2x ;
y' = -2sin2x + 2cos2x ;
y" = -4cos2x - 4sin2x}\)

i co dalej ?!? (ten drugi przypadek w sensie te drugie zadania tak samo sie liczy bo tez delta ujemna podobnie jak tu tak?)

[Mariusz M]

gustaf999,

\(\displaystyle{ \lambda^2+4=0\\
\left( \lambda-2j\right)\left( \lambda+2j\right)=0}\)

więc przewidujesz rozwiązanie postaci

\(\displaystyle{ y=C_{1}\cos{2x}+C_{2}\sin{2x}+Ae^{3x}}\)

\(\displaystyle{ \lambda^{2}+2\lambda+10=0\\
\left( \lambda+1\right)^2+3^2=0\\
\left( \lambda+1-3j\right)\left( \lambda+1+3j\right)=0\\}\)

Przewidujesz rozwiązanie postaci

\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{-x}\cos{3x}+C_{2}e^{-x}\sin{3x}+A\cos{2x}+B\sin{2x}}\)

[gustaf999]

gustaf999,

\(\displaystyle{ \lambda^{2}+2\lambda+10=0\\
\left( \lambda+1\right)^2+3^2=0\\
\left( \lambda+1-3j\right)\left( \lambda+1+3j\right)=0\\}\)

Przewidujesz rozwiązanie postaci

\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{-x}\cos{3x}+C_{2}e^{-x}\sin{3x}+A\cos{2x}+B\sin{2x}}\)

to jest do tego 2 zadania ?? jesli tak dlaczego przy 10 też nie ma lambdy ? jesli jest \(\displaystyle{ y"+2y+10y}\) a nie 2y+10 ??

[Mariusz M]

gustaf999, ja założyłem że nieco źle przepisałeś to równanie
tzn że jest to równanie postaci

\(\displaystyle{ y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+10y=\sin{2x}}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ y=e^{\lambda x}}\) do równania jednorodnego otrzymujemy

\(\displaystyle{ \lambda^{2}e^{\lambda x}+2\lambda e^{\lambda x}+10e^{\lambda x}=0\\
\lambda^{2}+2\lambda+10=0}\)

[gustaf999]

gustaf999,

więc przewidujesz rozwiązanie postaci

\(\displaystyle{ y=C_{1}\cos{2x}+C_{2}\sin{2x}+Ae^{3x}}\)

Przewidujesz rozwiązanie postaci

\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{-x}\cos{3x}+C_{2}e^{-x}\sin{3x}+A\cos{2x}+B\sin{2x}}\)

te przewidywania do 1 i do drugiego zadania to z czego to wynika ten dany wzrór i czy to koniec zadania ?? I co do pierwszego wzoru to 2x to wynika z tego że B=2 ?? i co to jest te A ? bo te e do 3x to pewnie z zadania wynika.