Całka krzywoliniowa

[rafdar]

Bardzo prosze o sprawdzenie tej całki, dla lepszego unawidocznienia starałem się pokazać krok po kroku mój tok rozumowania tego zadania:

\(\displaystyle{ \int_{k}\(y^{3}+y)dx-x^{3}dy \quad \quad gdzie: \quad \quad k: x^{2}+y^{2}=4}\)
Korzystając z wzoru Greena:
\(\displaystyle{ \int Pdx+Qdy=\int_D\int(\frac{\theta Q-\theta P}{\theta x-\theta y}) dxdy}\)
\(\displaystyle{ \frac{\theta Q}{\theta x}=3x^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\theta P}{\theta y}=3x^{2}+1}\)

\(\displaystyle{ \int_{k}\(y^{3}+y)dx-x^{3}dy= \int_D(-3x^{2}-3y^{2}-1)dxdy}\)

\(\displaystyle{ x=r\,cos \phi}\)

\(\displaystyle{ y=r\,cos \phi}\)

\(\displaystyle{ J=r}\)

z powyższego wynika że:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4}\)

\(\displaystyle{ r^{2}\,cos^{2} \phi+r^{2}\,sin^{2} \phi=4}\)

\(\displaystyle{ r^{2}(\,cos^{2} \phi+r^{2}\,sin^{2} \phi)=4}\)

\(\displaystyle{ r^{2}=4}\)- z jedynki trygonometrycznej

\(\displaystyle{ r=2}\)

\(\displaystyle{ \int_\delta\int(-3r^{2}\,cos^{2}\phi\,-\,3r^{2}\,sin^{2}\phi\,-\,1)\,r\, d\phi dr=}\)

\(\displaystyle{ =\int_\delta\int(-3r^{3}\,cos^{2}\phi\,-\,3r^{3}\,sin^{2}\phi\,-\,r)\, d\phi dr=}\)

\(\displaystyle{ =\int_\delta\int[-3r^{3}\,(cos^{2}\phi\,+\,sin^{2}\phi)-\,r]\, d\phi dr=}\)

\(\displaystyle{ =\int_\delta\int(-3r^{3}\,-\,r]\, d\phi dr=}\)

\(\displaystyle{ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi \int_{0}^{2}(-3r^{3}-r)dr=}\)

\(\displaystyle{ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi\,[- \frac{3r^{4}}{4}-\frac{r^{2}}2]{}\)-obliczając to w granicy od 0 do 2 otrzymuje:

\(\displaystyle{ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi\,[- 12-2]=}\)

\(\displaystyle{ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,[-14]d\phi=}\)

\(\displaystyle{ =-14\phi}\) - obliczając to w granicy od 0 do 2\(\displaystyle{ \pi}\) otrzymuje wynik -28\(\displaystyle{ \pi}\) a że pole nie może być ujemne wartość bezwzględna wyniesie 28\(\displaystyle{ \pi}\)

[sushi]

\(\displaystyle{ \frac{\theta Q}{\theta x}=3x^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\theta P}{\theta y}=3x^{2}+1}\)

\(\displaystyle{ \int_{k}\(y^{3}+y)dx-x^{3}dy= \int_D(-3x^{2}-3y^{2})dxdy}\)

Tu zgubiłeś -1 w całce po obszarze D

[ Dodano: 2 Wrzesień 2006, 09:58 ]
+ parę błedów w zapisie ale nie mają wpływu na reszte

[rafdar]

Wielkie dzięki Sushi za sprawdzenie, faktycznie nie przepisałem tej jedynki z kartki do posta (tzn. na kartce mam z -1).
Czy w takim razie wynik wyszedł mi poprawny??
Raz jeszcze dzięki

[sushi]

ale potem piszesz już 1

[ Dodano: 2 Wrzesień 2006, 10:32 ]
całka dalej idzie poprawnie - tylko wynik wyszedł ujemny- są 2 mozliwości:
1) może w przykładzie są na odwrót zapisane znaki minus
2) to jest całka krzywoliniowa 2-go rodzaju więc może wyjść minus - bo zależy w którą stronę całkujesz (zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara czy w przeciwną stronę)

[rafdar]

Przepraszam że Ci tak głowe zawracam, ale ta całka jest dla mnie ważna. Możesz mniejwięcej naświetlić mi jakie błędy popełniłem w zapisie .
Czyli rozumie że wynik wyszedł mi poprawnie|-28\(\displaystyle{ \pi}\)|=28\(\displaystyle{ \pi}\)|? Tz. wynik jest na - a ja dałem + ponieważ pomyślałem iż pole nie może być ujemne

[sushi]

do tego przykładu co podałeś to tak jak obliczyłeś wyszło \(\displaystyle{ -28 \pi}\)

[ Dodano: 2 Wrzesień 2006, 10:47 ]
przeglądam notatki dotyczące wzoru Greena i zadania , ale nie miałem takiego przykładu by wyszła liczba ujemna- wyszło czasami 0 lub coś dodatniego

[ Dodano: 2 Wrzesień 2006, 10:55 ]
Tak jak piszesz

Korzystając z wzoru Greena:

\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} Pdx+Qdy=\int_D\int(\frac{\theta Q}{\theta x}- \frac{\theta P}{\theta y}) dxdy}\)

jeżeli dobrze są podane P i Q

\(\displaystyle{ \frac{\theta Q}{\theta x}=-3x^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\theta P}{\theta y}=3y^{2}+1}\)

\(\displaystyle{ \int_{\Gamma}\(y^{3}+y)dx-x^{3}dy= \int_D t(-3x^{2}-3y^{2}-1)dxdy}\)

a dalej wszystko jest dobrze policzone i wychodzi liczba ujemna

A nie masz gdzieś odpowiedzi do tego zadania?

[rafdar]

hmm, ciekawe. Dziękuje za poświęcony czas.

[sushi]

nie ma sprawy

[rafdar]

hmm, ciekawe. Dziękuje za poświęcony czas. Tzn co do odpowiedzi do zadania to matematyk z korepetycji który mi to zrobił po "swojemu" otrzymał wynik -12\(\displaystyle{ \pi}\) i powiedział iż pole nie może być ujemne więc dajemy moduł. ale znalazłem błąd u niego mianowicie w całce po obszarze D wyciągną przed nawias -3 tam gdzie było:

\(\displaystyle{ \int_{K} (y^{3}+y}-1)\,dxdy=}\)

\(\displaystyle{ \int_{D} t (-3x^{2}-3y^{2}-1)\,dxdy=}\)

\(\displaystyle{ =\int_{D} t -3(x^{2}+y^{2})-1\,dxdy=}\)

\(\displaystyle{ =\int_{\delta} t -3(r^{2}-1) \, r \, d\phi dr}\)\(\displaystyle{ \,\,\,}\)\(\displaystyle{ \,\,\,}\)r za nawiasem pochodzi z Jakobianu a \(\displaystyle{ r^{2}}\) z przyrównania iż
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=r^{2}}\)
Wydaje mi sie że tu się on pomylił wyciagając -3

[sushi]

tak tu błąd \(\displaystyle{ (-3r^2-1)r}\) tak powinno być:)